Вариация.Условный экстремум, не могу доделать, help!)

[chibis]

Здравствуйте.
Есть задачка о нахождении функции $y$, которая даёт мининимальную площадь поверхности вращения вокруг оси $\verb при заданной площади участка, которую ограничивает она, $\verb и $\verb .

Функция $y$ такая что, $y(0)=b$; $y(x)>0$; $y(x_2)=0$;

Как видим, левый конец закреплён, а правый свободно двигается по оси $\verb !

Решается задачка так:
1)Пишется два функционала, для площади графика под функцией и для площади поверхности вращения.
2)Решается уравнение эйлера для $F+\lambda G$, где $F$ и $G$ - подинтегральные выражения. Получаем некоторые $y$ - решения, зависящие от констант.
3)Находим из условия трансверсальности точку для второго конца, где достигается экстремум.

Ну, и не считая достаточных условий всё, получаем функцию $y$ в явном виде без всяких констант.

До чего я дошёл:
1)Функционалы:

функционал для фиксир. площади под графиком
$K(y)=\int G(x,y,y') dx =\int y dx$

Функционал для площади фигуры вращения
$Y(y)=\int F(x,y,y') dx =2\pi\int (y \sqrt{1+(y'^2)}dx)$

Составил уравнения Эйлера ,начал решать и дошёл до уравнения

$y'= \sqrt{\dfrac{4\pi^{2}y^{2}}{c^{2}-2cy+\lambda^{2}y^{2}} - 1}$

$c$ и $\lambda$ константы.

Это уравнение с разделяющимися переменными, но как его брать я не знаю, подскажите пожалуйста, что делать....

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

(формулы)

-- Сб дек 19, 2009 21:16:41 --

Возвращено

-- Сб дек 19, 2009 21:18:17 --

Штрих нужно набирать так:

$y'$

[chibis]

Теоритически должно получиться уравнение некоторой кривой(гипербола или подобное)

[chibis]

Была замечена опечатка, правильно так:
$y'= \sqrt{\dfrac{4\pi^{2}y^{2}}{c^{2}-2cy\lambda+\lambda^{2}y^{2}} - 1}$

Есть предложения, как решать этот дифур?

[ИСН]

Все диффуры вида $y^\prime=f(y)$ решаются одинаково: делим лево на право и интегрируем.

[chibis]

Спасибо. Это понятно, я не знаю, как интеграл взять...

$x+c_2= \int \sqrt{\dfrac{(\lambda y -c)^{2}}{4\pi^{2}y^{2}-(\lambda y -c)^{2}}} dy$

Если бы в знаменателе при $\pi$ не стояло бы множителя $y$ я бы спокойно сделал бы подведение и всё решилось бы...но...увы.. А как брать этот интеграл я понятия не имею..нужны идеи.

Спасибо.

[ИСН]

Числитель дроби выползает из-под корня.

[Алексей К.]

... А дальше интеграл берётся. Довольно мучительно, конечно...

[chibis]

Спасибо!
Про то что числитель выносится - я знал) Не глупый всё-таки)
А вот Вольфрамчик ужаснул, ладно, значит тут действительно всё так ужасно...что ж будем брать...

[PAV]

Нужно только учитывать, что в числителе модуль стоит.

[ewert]

Ну какие там мучения и ужасы. В знаменателе -- разность квадратов, поэтому подкоренное выражение легко приводится к сумме выражений вида $\sqrt{ay+b\over cy+d}$ и ${1\over\sqrt{(ay+b)(cy+d)}}$. Тут даже и вольфрам даёт нечто вразумительное; правда, патологически не упрощённое.

[chibis]

Спасибо большое.
Т.е предлагается в числителе не извлекать корень, а выделить новый полный квадрат так, чтобы сократилось с одним из множителей в знаменателе?

Но ведь тогда второе слагаемое будет отнюдь не

$${1\over\sqrt{(ay+b)(cy+d)}}$$

[ewert]

Нет, в числителе корень надо, конечно, извлечь. И ничего там не сократится -- будет именно два слагаемых указанного вида. Ну или одно вида $\dfrac{at+b}{\sqrt{\pm t^2\pm c^2}}$, если действительно выделять внизу полный квадрат.

[chibis]

И потом делается замена $u=t^2+c^2$(или подобное в зависимости от знаков). Я правильно понимаю?
Я так уже пробывал делать, но не долелал, ладно попробую ещё разок...

[ewert]

Это только для первого слагаемого в числителе (который $at$), и там сразу получается просто корень. А второе даёт или арксинус, или гиперболический арксинус, или гиперболический арккосинус (в зависимости от комбинации знаков). Причём обратные гиперболические функции -- это логарифмы (с корнями внутри).