2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сравнения по нечетному простому модулю.
Сообщение26.07.2006, 16:47 


30/06/06
313
Доказать, что если $p$ - нечетное простое число, то
$1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot ... \cdot (p-2)^{2} \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}$ ($mod$ $p$),
$2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot ... \cdot (p-1)^{2} \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}$ ($mod$ $p$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнения по нечетному простому модулю.
Сообщение26.07.2006, 19:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Imperator писал(а):
Доказать, что если $p$ - нечетное простое число, то
$1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot ... \cdot (p-2)^{2} \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}$ ($mod$ $p$),
$2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot ... \cdot (p-1)^{2} \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}$ ($mod$ $p$).

Это очень простой вопрос. Пусть g образующая по модулю p. Определим функцию lng(x) на ненулевых вычетах как степень, на которую надо возводить g, чтобы получился вычет х по модулю р. значения функции определены как вычеты по модулю p-1 (от нуля до р-2). Тогда очевидно $ lng(p-x)=lng(x)+a,a=\frac{p-1}{2}$
Это дает $$b=\sum_{x=1}^a lng(x), \sum_{x=1}^{p-1} lng(x)=2b+a^2=-\frac{(p-2)(p-1)}{2}=-a.$$
Следовательно $$\sum_{x=1}^a lng((2x)^2)=2alng(2)+2b=a(a+1),$$
$$\sum_{x=1}^a lng((2x-1)^)=\sum_{x=1}^a 2(\lng(2x)+a)=a(a+1).$$
Учитывая, что g в степени а равно -1 получаем требуемое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group