Как найти потенциал любой точки проводящего шара?

[hichkok]

Здравствуйте! Такая вот задача. На шар через электроды подается постоянный ток I (известен радиус R и удельное сопротивление ро, шар однородный). Электроды находятся на полюсах шара. Как определить потенциал в произвольной точке шара?

[venco]

Исходя из симметрии, потенциал на каждой параллели постоянен.
Теперь рассмотрите бесконечно близкие параллели. Какое между ними сопротивление? Какова разность потенциалов? А теперь можно и проинтегрировать.
Отставить. Это я про сферу, а с шаром будет сложнее.

[Lokkie]

Добрый день, а можно получить условия задачи?

[hichkok]

Lokkie в сообщении #271633 писал(а):

Добрый день, а можно получить условия задачи?

Ну... я собственно все условия которые есть написал (ток(const), радиус и ро(const)). Формулу в общем виде нужно найти, ибо конечная цель построение картины электрического поля.

[meduza]

hichkok
Картину и без формулы можно построить. Шар можно представить как множество параллельных проводников, посредине их длина (а значит и сопротивление) меньше, поэтому там ток б́ольший будет течь. По мере отдаления от оси к краям ток будет уменьшаться.

[hichkok]

meduza в сообщении #271697 писал(а):

hichkok
Картину и без формулы можно построить. Шар можно представить как множество параллельных проводников, посредине их длина (а значит и сопротивление) меньше, поэтому там ток б́ольший будет течь. По мере отдаления от оси к краям ток будет уменьшаться.

Под картиной подразумевается, что при произвольном расположении потенциальных электродов на поверхности шара (т.е. наверно можно ограничиться распределением потенциала по поверхности шара) я смогу с них снять (вычислить по известной формуле) разность потенциалов.

[venco]

meduza в сообщении #271697 писал(а):

hichkok
Картину и без формулы можно построить. Шар можно представить как множество параллельных проводников, посредине их длина (а значит и сопротивление) меньше, поэтому там ток б́ольший будет течь. По мере отдаления от оси к краям ток будет уменьшаться.

У меня есть подозрение, что эквипотенциальные поверхности будут сферами, как в http://en.wikipedia.org/wiki/Bipolar_coordinates.

[hichkok]

Нашел задачи с таким условием в книгах:
Смайт. Электростатика и электродинамика. Задача о проводящем шаре 240стр.
Ничего не понятно
Линдау Л.Д. Электродинамика сплошных сред. 132стр.
Попроще написано, но все равно полностью разобраться не получается

[BISHA]

hichkok в сообщении #271557 писал(а):

Электроды находятся на полюсах шара. Как определить потенциал в произвольной точке шара?

Вероятно, что нужно найти сопротивление шара, а для этого разбить его плоскостями перпендикулярными "оси" (что просто). Затем найти сумму последовательно соединенных сопротивлений (слоев). Зная силу тока и сопротивление найдем падение напряжения. Принимаем потенциал полюса из которого выходит ток за ноль. Проводим на поверхности "окружности" - эквипотенциальные поверхности (перпендик. оси). Потенциал по дуге, соединяющей полюса, изменяется как на струне.
К сожалению книги Ландау у меня нет.

[venco]

BISHA в сообщении #271841 писал(а):

Вероятно, что нужно найти сопротивление шара, а для этого разбить его плоскостями перпендикулярными "оси" (что просто). Затем найти сумму последовательно соединенных сопротивлений (слоев).

Так нельзя. Эквипотенциальные поверхности в данном случае - не плоскости.

[Zai]

Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред. 132стр.
Рассмотрим фундаментальное решение о стоке тока из точки в бесконечное пространство. На поверхности сферы радиуса $r$ плотность тока $j=\frac {J_1} {4 \pi r^2}, j=\sigma \frac {d \phi} {dr}, \phi(r)= \frac {J_1} {4 \pi \sigma r}$
При этом половина тока идет в верхнее полупространство(Рис. 15), половина в нижнее полупространство. Используем данное решение для задачи о шаре. Так как в условии задачи задан ток в нижнее пространство, то $J_1=2J, \phi(r)= \frac J {2 \pi \sigma r} $.
Если бы решение искалось для бесконечного пространства с одним источником тока и одним стоком тока, то потенциал определялся соотношением
$\phi(r)= \frac J {2 \pi \sigma }(\frac 1 {R_1}- \frac 1 {R_2}) $. Член с $R_2$ отрицателен, т.к. в нем предполагается сток тока.
Если далее вычислить нормальную к поверхности сферы плотность тока на поверхности вырезанной из пространства сферы, выражение будет ненулевым и необходимо определить добавочный потенциал, что и делается во второй части решения.

[hichkok]

Zai в сообщении #271986 писал(а):

Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред. 132стр.
Рассмотрим фундаментальное решение о стоке тока из точки в бесконечное пространство. На поверхности сферы радиуса $r$ плотность тока $j=\frac {J_1} {4 \pi r^2}, j=\sigma \frac {d \phi} {dr}, \phi(r)= \frac {J_1} {4 \pi \sigma r}$
При этом половина тока идет в верхнее полупространство(Рис. 15), половина в нижнее полупространство. Используем данное решение для задачи о шаре. Так как в условии задачи задан ток в нижнее пространство, то $J_1=2J, \phi(r)= \frac J {2 \pi \sigma r} $.
Если бы решение искалось для бесконечного пространства с одним источником тока и одним стоком тока, то потенциал определялся соотношением
$\phi(r)= \frac J {2 \pi \sigma }(\frac 1 {R_1}- \frac 1 {R_2}) $. Член с $R_2$ отрицателен, т.к. в нем предполагается сток тока.
Если далее вычислить нормальную к поверхности сферы плотность тока на поверхности вырезанной из пространства сферы, выражение будет ненулевым и необходимо определить добавочный потенциал, что и делается во второй части решения.

Спасибо огромное за разъяснение, более-менее разобрался.