Помогите найти минимум функции

[myk23b]

функция $f(x)=x^3-3x^2-4$
беру отсюда производную, получаю следующее
$f'(x)=3x^2-6x$
Дальше раскладываю на множители, получаю точки $x_1=0$ и $x_2=2$
как определить где минимум функции?

[ShMaxG]

Локальный минимум? Знак производной должен при перевале через точку измениться с минуса на плюс.

[myk23b]

не понял
это где на оси еще знаки раставляешь?

[Sasha2]

Ну давайте так навскидочку.
Ясно, что от минус бусконечности до нуля функция возрастает монотонно.
Там вообще экстремумов нет.
Значит ищем минимум функции Вашей в области от 0 до плюс бесконечности.
Откинем сразу четверку (она не влияет на точку, в которой имеет минимум).
А далее положим $x^2=u$.
Тогда Ваша функция перепишется в виде $u^{\frac{3}{2}}-3u$
Как известно (и производных даже не надо) функция $y=u^{\alpha}-au (\alpha>0, a>0)$
достигает своего наименьшего значения в точке $x_0=(\frac{a}{\alpha})^{\frac{1}{\alpha-1}}$,
которое равно $y_0=(1-\alpha)(\frac{a}{\alpha})^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$
Ваше $\alpha=\frac{3}{2}$ и $a=3$
Дальше чистая арифметика.

Если будете считать значение функции 4 не забудьте вернуть

[Istego]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %2C+3x2-6x

[ShMaxG]

myk23b
Да.

Sasha2
О Боже! Зачем же так сложно! Ответ можно сказать устно, прикинув знаки производной по бокам от точек.

Sasha2 в сообщении #271260 писал(а):

Как известно (и производных даже не надо) функция $y=u^{\alpha}-au (\alpha>0, a>0)$
достигает своего наименьшего значения в точке $x_0=(\frac{a}{\alpha})^{\frac{1}{\alpha-1}}$

А вот этот результат лично мне не известен (да и нужен ли он в такой тривиальной задаче как здесь?).

[Henrylee]

а чего, вторую производную уже отменили? Или на последнем съезде партии признали неспортивным?

[Виктор Викторов]

myk23b в сообщении #271252 писал(а):

функция $f(x)=x^3-3x^2-4$
беру отсюда производную, получаю следующее
$f'(x)=3x^2-6x$
Дальше раскладываю на множители, получаю точки $x_1=o$ и $x_2=2$
как определить где минимум функции?

ShMaxG в сообщении #271253 писал(а):

Локальный минимум? Знак производной должен при перевале через точку измениться с минуса на плюс.

В данном случае есть и локальный максимум и локальный минимум.
А ещё нужно взять в руки любой учебник по данной теме (например, Фихтенгольца).

[ewert]

Henrylee в сообщении #271339 писал(а):

а чего, вторую производную уже отменили? Или на последнем съезде партии признали неспортивным?

У меня чуть меньше недели назад была очередная встреча со студентами, "официально признанными иднизкоуровневыми" (по результатам ЕГЭ плюс наших внутренних тестов). Но, между прочим, в массе -- вполне сообразительными; только вот ошибок и глупостей от них многовато исходит, хотя и видно, что мыслят они, в принципе, разумно.

Но -- это так, лирика. А повод вот какой.
Я им предложил дешёвенькую работку на экстремумы. Предупредив: "достаточные условия -- только через вторые производные!". Немедленный бунт: "а можно через чередование возрастания и убывания?..."

Ну бунт я тут же погасил: "Потом -- ради бога, чем угодно, а на сегодня мы отрабатываем именно этот приём, так извольте именно его сегодня и отрабатывать, таковы правила игры".

--------------------------------------

Но! Это если правила именно заданы. А вот если правила официально не заданы, как вот в этом конкретном случае -- оптимальным приёмом будет именно чередование монотонностей. Поскольку всем ежам известно, где и какого знака квадратный трёхчлен.

[myk23b]

ответ получается -2?

[ShMaxG]

А причем здесь $-2$? В точке $2$ - правильно.