Кратный интеграл

[M1xer]

Знаю что просто так здесь, без моих знаний, помогать никто не будет, но очень надо помочь с одним примером так как не понимаю в кратных интегралах, помогите пожалуйста:

Вычислить:
$\[\iint\limits_D {(x - y)dxdy,\,\,\,D:y = 0,\,x = y,\,x + y = 2}\] $

или хотя бы добраться до решения самого интеграла.

[ewert]

Сначала нарисуйте область интегрирования (можно хотя бы словами). Потом расставляйте пределы: снаружи -- по игрекам, внутри -- по иксам.

[M1xer]

ну там получаются две прямые одна через 0 проходящая, другая через x=2

[gris]

прямых три. Они ограничивают треугольник. Равнобедренный, с основанием на оси икс. Надо выбрать порядок интегрирования. Я бы так советовал сделать. Нарисуйте область интегрирования. Если внутреннее интегрироввание по икс, то заштрихуйте её горизонтальными штрихами, не очень частыми. Посмотрите, на какой прямой каждый штрих начинается, на какой заканчивается. Это даст пределы интегрирования для внутреннего интеграла. Потом посмотрите нижний уровень - значение игрек - и верхний уровень штриховки. Это даст пределы интегрирования для внешнего интеграла. И мы получим повторный интеграл.

[M1xer]

вот так:

$\[\int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{ - x}^x {(x - y)dy} \]$ ?

[ewert]

Не так.

Для начала: перечислите координаты вершин треугольника. И в каких пределах может изменяться каждая из координат (для начала по отдельности), если пробегать весь треугольник.

[M1xer]

ну вот так походу

$\[\int\limits_0^1 {dy\int\limits_x^{2 - y} {(x - y)dx} } \]$ ?

[BapuK]

у внутреннего интеграла нижний предел $y$

[M1xer]

пасибо
а вот дальше я что-то не знаю как делать

[Henrylee]

А дальше - вычислять. Если , конечно, Вы не лентяй "походу".. Сначала вгутренний интеграл, потом внешний.

[M1xer]

Просто я не знаю как с этими пределами решить

[neverland]

Вычислите сначала внутренний интеграл ( по $dx$) а $y$ считайте просто константой, а потом внешний по $dy$. Или учебник посмотрите, если не понятно. Этих самых пределов тут нету