ДУ и интеграл Дюамеля

[Koftochka]

Здравствуйте, проверьте, пожалуйста, решение ДУ с помощью интеграла Дюмеля. Просто Дюмелем решаю первый раз (за образец взяла АнтиДимидович т.5, с.347), поэтому очень неуверена в правильности своего решения, а препод очень дотошный.

$\begin{gathered} x'' - x' = \frac{{{e^{2t}}}} {{2 + {e^t}}},x\left( 0 \right) = x'\left( 0 \right) = 0. \hfill \\ {x_1}\left( t \right) = {e^t} - t - 1 \Rightarrow {x_1}^\prime \left( t \right) = {e^t} - 1. \hfill \\ x\left( t \right) = \int\limits_0^t {\frac{{{e^{2\tau }}}} {{2 + {e^\tau }}}{{x'}_1}\left( {t - \tau } \right)d\tau } = \int\limits_0^t {\frac{{{e^{2\tau }}}} {{2 + {e^\tau }}}\left( {{e^{t - \tau }} - 1} \right)d\tau } = \hfill \\ = \int\limits_0^t {\frac{{{e^{t + \tau }} - {e^{2\tau }}}} {{2 + {e^\tau }}}d\tau } = {e^t}\int\limits_0^t {\frac{{{e^\tau }}} {{2 + {e^\tau }}}d\tau } - \int\limits_0^t {\frac{{{e^{2\tau }}}} {{2 + {e^\tau }}}d\tau } = \hfill \\ = {e^t}\int\limits_0^t {\frac{{d\left( {2 + {e^\tau }} \right)}} {{2 + {e^\tau }}}} - \int\limits_0^t {\frac{{\left( {2 + {e^\tau } - 2} \right){e^\tau }}} {{2 + {e^\tau }}}d\tau } = \hfill \\ = \left. {{e^t}\ln \left( {2 + {e^\tau }} \right)} \right|_0^t - \int\limits_0^t {\left( {1 - \frac{2} {{2 + {e^\tau }}}} \right)d\left( {2 + {e^\tau }} \right)} = \hfill \\ = {e^t}\ln \frac{{2 + {e^t}}} {3} - \left. {\left( {2 + {e^\tau } - 2\ln \left( {2 + {e^\tau }} \right)} \right)} \right|_0^t = \hfill \\ = {e^t}\ln \frac{{2 + {e^t}}} {3} - \left( {{e^t} - 2\ln \left( {2 + {e^t}} \right) + 2\ln 3 - 1} \right) = \hfill \\ = {e^t}\ln \frac{{2 + {e^t}}} {3} - {e^t} + 2\ln \frac{{2 + {e^t}}} {3} + 1 = \hfill \\ = \left( {{e^t} + 2} \right)\ln \frac{{2 + {e^t}}} {3} - {e^t} + 1. \hfill \\ \end{gathered}$

[Koftochka]

Помогите, пожалуйста, разобраться ешё с таким уравнением:

\[xy'' = y'\ln\frac{y'}{x},~~y(1)=\frac{e}{2},~~y'(1)=e.\[

Нахожу сначала общее решение (вроде бы правильно, проверьте):

$\begin{gathered}xy'' = y'\ln \frac{y'}{x} \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}y'=xp, \hfill \\ y''=p + xp' \hfill \\ \end{gathered}\right\} \Leftrightarrow p + xp' = p\ln p \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow x\frac{dp}{dx} = p(\ln p - 1) \Leftrightarrow \frac{dp}{p(\ln p - 1)} = \frac{dx}{x} \Leftrightarrow \int \frac{dp}{p(\ln p - 1)} = \int \frac{dx}{x} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \int \frac{d(\ln p - 1)}{\ln p - 1} = \ln|C_1x| \Leftrightarrow \ln|\ln p - 1| = \ln|C_1x| \Leftrightarrow \ln p - 1 = C_1x \Leftrightarrow \hfill \\\Leftrightarrow p = e^{C_1x + 1} \Leftrightarrow \frac{y'}{x} = e^{C_1x + 1} \Leftrightarrow y' = xe^{C_1x + 1} \Leftrightarrow y = \int xe^{C_1x + 1}\,dx = \hfill \\= \frac{x}{C_1}e^{C_1x + 1} - \frac{1}{C_1}\int e^{C_1x + 1}\,dx = \frac{xe^{C_1x + 1}}{C_1} - \frac{e^{C_1x + 1}}{C_1^2} + C_2 = \left(\frac{x}{C_1} - \frac{1}{C_1^2}\right)e^{C_1x + 1} + C_2. \hfill \\ \end{gathered}$


Не могу найти частное решение, получается какой-то бред, Maple_13 выдает \[\frac{e}{2}\,x^2$\[.

Помогите разобраться, пожалуйста.

[Leox]

Koftochka в сообщении #272883 писал(а):

Помогите, пожалуйста, разобраться ешё с таким уравнением:

\[xy'' = y'\ln\frac{y'}{x},~~y(1)=\frac{e}{2},~~y'(1)=e.\[

Общее решение найдено правильно, так что с частньім решением не должно возникнуть никаких проблем.

[Koftochka]

Спасибо большое!
В том то и дело, когда начинаю искать частное решение, возникает проблема: ${C_1}=0$.

Помогите, пожалуйста, разобраться!

И ещё проверьте, пожалуйста, решение Дюамелем в первом посте.

[Leox]

Koftochka в сообщении #272904 писал(а):

Спасибо большое!
В том то и дело, когда начинаю искать частное решение, возникает проблема: ${C_1}=0$.

Тогда попробуйте найти особое решение в виде многочлена второй степени. Maple прав.

[Koftochka]

А как в моём случае его – особое решение – найти??

На семинарах нам показали только один пример с особым решением.

[Leox]

Koftochka в сообщении #272919 писал(а):

А как в моём случае его – особое решение – найти??

На семинарах нам показали только один пример с особым решением.

А сколько примеров нужно показать?
Пишете примерно так - ищем особое решение в виде $y=a x^2+b x+c. $ Подставляете, находите $a,b,c,$, находите особое решение.

[ewert]

Никакое оно не особое. Просто до сих пор

Koftochka в сообщении #272883 писал(а):

$y' = x e^{C_1x + 1}$

всё верно, но вот этот переход

Koftochka в сообщении #272883 писал(а):

$y = \int xe^{C_1x + 1}\,dx = \frac{x}{C_1}e^{C_1x + 1} - \frac{1}{C_1}\int e^{C_1x + 1}\,dx$

корректен лишь при $C_1\neq0$, а при $C_1=0$ надо считать отдельно, вот и всё.

[Leox]

Как в таких случаях записьівается общее решение уравнения?

[ewert]

Дело вкуса. Например, так, как выше, но с оговоркой: "... или $y={e\over2}x^2+C_2$.

Но вообще-то в такого рода задачах (раз уж это задача Коши, и решается именно интегрированием) константы следует выбивать по мере их поступления. Появилась $C_1$ -- нашли, появилась $C_2$ -- нашли...

[Koftochka]

Спасибо!

Скажите, просветите, пожалуйста, как мне решать моё уравнение, нам таких особенностей не объясняли, а здавать надо в обязательном порядке.

Пожалуйста, проверьте ещё решение первого уравнения.

[ewert]

Koftochka в сообщении #272976 писал(а):

Скажите, просветите, пожалуйста, как мне решать моё уравнение, нам таких особенностей не объясняли, а здавать надо в обязательном порядке.

ewert в сообщении #272951 писал(а):

, а при $C_1=0$ надо считать отдельно, вот и всё.