Затухающие колебания пружинного маятника

[Гость]

Пружинный маятник ( тело, соединенное со стеной пружиной и скользящее по горизонтальной плоскости) отклоняют на известную величину и отпускают. Жесткость пружины и коэффициент трения известны. Вывести ф-лу зависимости координаты от времени.
Я не понимаю одного: как, исходя из нач. условий, найти значение для коэффициента затухания? Ведь чтобы его узнать, надо иметь значения амплитуды минимум в 2-х точках времени, и интервал между ними. Везде, где ни смотрел, написано что он ищется из характеристик колебательной системы. Объясните плз, как, зная нач. отклонение, жесткость, коэффициент трения, и, может, массу груза, найти ентот коэффициент?

[LynxGAV]

Уравнение Лагранжа или попросту уравнение движения отличается от обычного тем, что вы феноменологически введете силу трения, равную минус коэффициент трения, помноженный на скорость маятника. Так? Получите дифференциальное уравнение второго порядка. Перепишите его так, чтобы перед ускорением был коэффициент 1, тогда перед смещением будет k/m=(w_o)^2 (k - жесткость пружины, m - масса, w_o - частота свободных колебаний в отсутствие трения), перед скоростью alfa/m (alfa - коэффициент трения). Обозначьте alfa/m=2lambda (lambda-коэффициент затухания - не это ли характеристика колебательной системы! как он определен?). Решаете уравнение. Будет 2 константы - Ваши амплитуды. (Кстати можно записать более компактно. Там будет синус и косинус с экспоненциально убывающей амплитудой. Выбором фазы и другой амплитуды можно свести просто к косинусу.) 2 начальных условия. Что там у Вас? Есть начальное отклонение и скорость в начальный момент равна нулю или что?
Тут же что такое это lambda физически.
tau=1/lambda для t>>tau x_общее=0 ничего нет, ничего не колеблется, все затухло из-за трения
Да, если у Вас конец будет двигаться по какому-то закону, то надо и эту периодическую вынуждающую силу добавить в уравнение движения. Тогда будет неоднородное уравнение.
Решаете по накатанной схеме из дифур. Сначала частное,...

Лучшие книги по теоретической механике:
1. Ландау "Теоретическая механика" (там есть много задач на колебания)
2. Голдстейн "Классическая механика" (чуть-чуть другой подход)

[LynxGAV]

Вот смотрите http://fotos.sapo.pt/lynxgav/pic/00009z7y
Это для маятника, учитывающего только вязкое трение.

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

введете силу трения, равную минус коэффициент трения, помноженный на скорость маятника.

Уже все позабыл. Я всегда считал, что сила трения (по абсолютной величине) не зависит от скорости $\alpha\,m\,g$. (Я не имею ввиду гидро/аеродинамику.) Верю, что не прав, только в чем?

[LynxGAV]

У меня тоже плохо с пределами, первообразными, интегралами, а особенно производными Правда это все цветочки, потому что с компУтерами совсем НИКАК А я еще умудряюсь с этого смеяться.

Вся физика "делится" на ту, которая получается из первых принципов (ввели принцип причинности и погнали..., строгие выводы, ничего среднепотолочного, ничего не надо выдумывать) и феноменологическую (что видим, то и пишем).

Задача о свободных колебаниях - из основ, а вот в затухающих колебаниях надо что-то выдумать, потому что эта система - НЕМЕХАНИЧЕСКАЯ. Потому что, в общем случае, нельзя утверждать, что ускорение движущегося тела является функцией только его скоростей и координат в данный момент времени. ГОВОРИТСЯ (так следует из эксперимента), что на тело действует сила, зависящая для заданной однородной среды только от скорости тела. Так как сила действует в сторону противоположную скорости, то будет с минусом.

Сила трения:
1. Не зависит от площади поверхности, вдоль которой тела соприкасаются.
2. Пропорциональна силе нормального давления, с которой одно тело действует на другое.
3. Коэффициент трения зависит от природы и состояния трущихся поверхностей (салидол, т п )

Можно построить график зависимости f_tr=f_tr (v).
При v=0 => f_tr (-f_o, +f_o) неопределенная; f_o - максимальная сила трения покоя (мы тянем, а оно не тянется)
v>0, f_tr < 0; v<0, f_tr > 0
aбсолютная скорость (по модулю) увеличивается: абсолютная величина силы трения сначала убывает, проходит через минимум, потом возрастает
Кривулька симметрична относительно начала координат f(+v)=-f(-v)

Нам важно, что ЗАВИСИТ от скорости, а как...то таке. Все остальное мы посчитаем 8)

[незваный гость]

LynxGAV писал(а):

Сила трения:
1. Не зависит от площади поверхности, вдоль которой тела соприкасаются.
2. Пропорциональна силе нормального давления, с которой одно тело действует на другое.
3. Коэффициент трения зависит от природы и состояния трущихся поверхностей (салидол, т п )

Я вот и согласен (ну почти, если исключить что сила трения покоя обычно больше, чем сила трения скольжения), но все ж не понимаю зависимости от скорости. То есть, \overline{F_{fr}} = - \alpha m g \overline{e_v}$ понятно (\overline{e_v}$ - единичный вектор скорости), но ведь не $\overline{F_{fr}} = - \alpha \overline{v} $? Хотя, если маятник висит (т.е. трение о воздух (или другой газ, в зависимости от состава атмосферы)), я бы выбрал именно второй вариант как первое приближение .

[LynxGAV]

незванный гость писал(а):

:evil:
Я вот и согласен (ну почти, если исключить что сила трения покоя обычно больше, чем сила трения скольжения)

Я где-то написала обратное? Наоборот, из графика видно, что она макс. при скорости равной нулю.

Цитата:

но все ж не понимаю зависимости от скорости

Как Вам такое:
Если брусок будет скользить по горизонтальной плоскости равномерно, то прикладываемая сила будет равна силе трения (на графике "огрызки" будут прямыми).
При ускоренном движении эти силы уже не уравновешиваются.
Налицо зависимость от скорости.
Теперь говорим:1. есть зависимость от скорости (вставлю свое - тоже в первом приближении). 2. сила действует против движения. 3. введем некий коэффициент пропорциональности. Точка. Для записи f_tr = - alfa v вполне достаточно.

Движение тела в газе или жидкости.
При малых скоростях зависимость силы трения линейна, при больших - квадратична. (Помню выводили красивую формулу для шарика в жидкости, помню визуально закон, не помню фамилию ученого, вроде, з-н Стокса)
В жидкости еще кроме трения внешнего (с телом в него помещенным), может быть трение внутреннее (между слоями).

А как нитка, на которой висит мат. точка, крепится к потолку Вы не думали?
В физике уравнение для осциллятора получается из разложения потенц. энергии в ряд Тейлора вблизи точки устойчивого равновесия. Потом пишут лагранжиан и находят уравнения движения. Эта абстрактная модель не совсем то, что мы визуально представляем.
Легче нарисовать параболу (зависимость пот. энергии от координаты) и представить как внутри нее катается мячик.

[нeзванный гость]

LynxGAV писал(а):

Как Вам такое:
Если брусок будет скользить по горизонтальной плоскости равномерно, то прикладываемая сила будет равна силе трения (на графике "огрызки" будут прямыми).
При ускоренном движении эти силы уже не уравновешиваются.
Налицо зависимость от скорости.

Увы, не вижу. Не вижу линейной (а также и иной степенной) зависимости от скорости. Если силы трения нет, и тело падает ускоренно, то вряд ли сила тяжести зависит от скорости. Косвенное подтверждение - существует мертвая зона, в которой натяжения пружины недостаточно, чтобы преодолеть силу трения покоя. Однажды остановившись в этой зоне, брусок больше двигаться не будет. При линейной силе трения мертвой зоны нет.

Удивительно, но эта задача нигде не рассматривается. По крайней мере, я не видел. Не то что бы сложна (куда уж проще - разве что свободные колебания), но, по-видимому решение "некрасивое". Ну действительно, кусочно-аналитическая функция - кому такое понравиться. Я бы и сам сморщился.

А ведь решение весьма забавно... Каждый сегмент между остановками эквивалентен свободному колебанию относительно смещенного центра. Но положение центра разное при движении туда и при движении обратно. Что (решение) вполне подтверждается прямым экспериментом.

LynxGAV писал(а):

Движение тела в газе или жидкости.
При малых скоростях зависимость силы трения линейна, при больших - квадратична. (Помню выводили красивую формулу для шарика в жидкости, помню визуально закон, не помню фамилию ученого, вроде, з-н Стокса)
В жидкости еще кроме трения внешнего (с телом в него помещенным), может быть трение внутреннее (между слоями).

Вот ее-то, родимую, я и имел ввиду, когда говорил о трении в воздухе.

LynxGAV писал(а):

А как нитка, на которой висит мат. точка, крепится к потолку Вы не думали?

Нет, а что? Если честно, я методом крепления всегда пренебрегал. А пружину автогеном приваривал, и никакого трения. [Ну, а если совсем честно, то я о креплении думал однажды, когда хотел сделать маятник Фуко дома. Нет, я не живу в соборе Парижской Богоматери, я собирался делать вынужденные колебания. Вот там-то меня метод крепления волновал...]

LynxGAV писал(а):

В физике уравнение для осциллятора получается из разложения потенц. энергии в ряд Тейлора вблизи точки устойчивого равновесия. Потом пишут лагранжиан и находят уравнения движения. Эта абстрактная модель не совсем то, что мы визуально представляем.
Легче нарисовать параболу (зависимость пот. энергии от координаты) и представить как внутри нее катается мячик.

Да-с. А вот с диссипативными силами, вроде трения, конфуз выходит. Плохо они в ряд Тейлора раскладываются...

------------------------

Уфффф! Уважаемый Гость, если Вы все еще читаете (и мы Вам не надоели). Поясните, пожалуйста, более подробно, какие колебания имеете Вы ввиду. Является ли основной сила трения о воздух (вязкое трение), или сила трения скольжения по опоре. Боюсь, без этого дискурсия примет слегка философический характер, а я начну рассматривать проблемы сверхзвукового движения. И еще, какой уровень ответа (очень грубо) Вы ожидаете - по шкале между первым классом и Нобелевской премией. От этого тоже зависит аппроксимация...

В этой ветке много сообщений под гостем, поэтому я подписал ваше сообщение.
Dan_Te

[Гость]

Нет, такая оживленная дискуссия надоесть не может.
А дело было в следующем.
Мне необходимо решить очень простую задачу - смоделироать движение груза, закрепленного на пружине, и скользящего по поверхности. При этом силой трения о воздух, конечно, пренебрегаем. Модель должна получиться довольно грубой. Все, что было написано сначала LynxGAV, я видел много раз до того, как написать в эту тему, но все равно ей большое спасибо. Просто вчера вечером с моими мозгами что-то приключилось, и я не смог увидеть, как из начальных данных найти все коэффициенты. Я кое-что сам сделал, но не уверен. Буду рад, если уважаемая общественность посмотрит и скажет, есть ли ошибки.

Итак, что у меня есть: жесткость, коэфф. трения, масса груза, начальное смещение, начальная скорость. Мне надо составить ур-ние зависимости координаты от времени. Оно будет иметь вид: $x=A e^ {-\sigma t} cos(\omega t+\varphi)$. Это все знают. В учебнике прочитал, что $E=E_0 e^{-2 \sigma t}$. Сигма здесь коэффициент затухания. Если его найду, задача будет решена. В предположении, что в начальный момент времени энергия была $E_0=k x^2/2$, а в точке равновесия она стала $E=k x^2/2-\mu m g x$ (хотя в диффуре движения я полагал силу трения переменной, зависящей от времени, здесь я положил ее постоянной. Вычитается как раз ее работа, х-нач. смещение. В принципе, если так неправильно, можно найти работу силы трения как интеграл, учитывая, что $F = -\sigma v$. Здесь как раз у меня сомнения.). Все, отношение энергий есть, теперь находим отношение коэфф. затухания ко времени первого движения до точки равновесия, записываем ур-ние координаты для точки равновесия, оттуда косинус равен 0, угол - 90, находим сигма и задача решена. Вот как сделал я.

[LynxGAV]

Я Вас, признаюсь, НЕ ПОНИМАЮ.

Anonymous писал(а):

Итак, что у меня есть: жесткость, коэфф. трения, масса груза, начальное смещение, начальная скорость. Мне надо составить ур-ние зависимости координаты от времени. Оно будет иметь вид: $x=A e^ {-\sigma t} cos(\omega t+\varphi)$. Это все знают. В учебнике прочитал, что $E=E_0 e^{-2 \sigma t}$. Сигма здесь коэффициент затухания. Если его найду, задача будет решена.

LynxGAV писал(а):

Перепишите его так, чтобы перед ускорением был коэффициент 1, тогда перед смещением будет k/m=(w_o)^2 (k - жесткость пружины, m - масса, w_o - частота свободных колебаний в отсутствие трения), перед скоростью alfa/m (alfa - коэффициент трения). Обозначьте alfa/m=2lambda (lambda - коэффициент затухания - не это ли характеристика колебательной системы! как он определен?).

Вам дан коэффициент трения, дана масса груза. Переобозначьте моё ламбда на книжное сигма. !!!

Зачем выдумывать? Смоделировать - значит найти уравнение движения и решить его.
Вы ставите отдельный вопрос о диссипации энергии. Если уж на то пошло...

Цитата:

$E=E_0 e^{-2 \sigma t}$

Опять написали формулу и не поняли ее смысла. Это не просто энергия, это усредненная по периоду энергия, когда амплитуда затухающего колебания почти не меняется за период.
Начальное же значение энергии, мне сдается, константа (!). Сигма дано.

Цитата:

В предположении, что в начальный момент времени энергия была $E_0=k x^2/2$

Вопрос: зачем вам дали начальную скорость? ну зачем? зачем что-то предполагать, когда нужно использовать то, что дано?

Вы УЖЕ РЕШИЛИ или прочитали как решается задача. Осталось разобраться, что есть что. Сигма известно. Надеюсь, это не вызывает сомнений. Сигма = (коэффициент_трения)/2х(масса_груза)

[LynxGAV]

Подумайте еще так.
Вы получили уравнение движения. Это просто закон зависимости координаты от времени. Так? Берем конкретный момент времени, получаем координату. Чудно. Значит все остальные величины известны. Там же есть и это сигма. Значит, и оно известно. Как именно - написано выше.

Вы не обижайтесь, но в гармоническом осцилляторе надо разобраться. На нем, как на столпе, держится вся физика, и классическая и квантовая.

[Гость]

Уважаемая LynxGAV!
Конечно же, я на Вас не обижаюсь. Я очень благодарен Вам за разъяснение. Причина всех глюков у меня была в том, что я "зациклился" на смысле коэффициента затухания - что он там характеризует время. за которое амплитуда уменьшится в е раз, и просто не обратил внимания, что он определяется из самого дифура. Ну бывает такое. И смех и грех просто. Сложные интегралы, бывает, в уме считаю, а на почленном делении суммы в числителе на знаменатель начинаю глючить, недавно начал с такую вещь в сумму простых дробей раскладывать... Вобщем, тормоз я... Простите за непонимание Ваших начальных объяснений, просто сложновато бывает в этом разобраться, когда сроки очень сжаты. Тем более, что моя специализация - вовсе не физика, а компутеры.

[LynxGAV]

Цитата:

Тем более, что моя специализация - вовсе не физика, а компутеры

Если компутеры, не плохо было бы зарегистрироваться. Моя специализация - вовсе не компутеры, а физика. По компутерам возникают вопросы.

Знаете, если человеку 100 раз сказать, что он дурак, то на 101 он задумается: "А не дурак ли я?" Когда Вы не досмотрели в условии, я сама себя спросила: "Чё я там понаписала? Чё там не ясно?" Не сейте неясности в наших рядах

[Гость]

Zadov я.

[незваный гость]

Все бросаю и ухожу в противофазу. Прощайте, люди, и не судите строго .

Гость писал(а):

Мне необходимо решить очень простую задачу - смоделироать движение груза, закрепленного на пружине, и скользящего по поверхности. При этом силой трения о воздух, конечно, пренебрегаем.

(выделено мной. А то "выделения мои" звучит как-то не так )

Итак, если $\dot x > 0$, мы имеем уравнение $m \ddot x = -k x -\alpha m g$, где $\alpha$ - коэффициент силы трения. Обозначая $x_+ = - \frac{\alpha m g}{k}$, мы имеем уравнение свободных колебаний относительно $x_+$. То есть, $m \ddot {(x-x_+)} = -k (x - x_+)$. Его решение, естественно, кусок периода синусойды, при котором $\dot x > 0$, с круговой скоростью $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Теперь $\dot x < 0$. Все аналогично до безобразия, только теперь центр колебания $x_- = \frac{\alpha m g}{k}$.

Ну, с $\dot x = 0$ надобно разбираться отдельно. Если $x_+ \le x \le x_-$, то маятник находится в мертвой зоне, и силы пружины недостаточно, чтобы преодолеть силу трения. (Вообще-то говоря, мертвая зона несколько шире, поскольку сила трения покоя больше, чем сила трения скольжения. Ну да ладно, замнем для ясности.) Коли $x < x_+$, то маятник начнет двигаться в положительном направлении (с центром в $x_+$), а коль x > x_-$, то в отрицательном (с центром в $x_-$).

Ну-с, теперь начнем для простоты с x_0 > x_-$. Его полуколебание описывается уравнением $x(t) = x_- + (x_0 - x_-) \cos(\omega t)$, и заканчивается в $x_1 = x(T/2) = 2 x_- - x_0$. Теперь, если мы не в мертвой зоне, $x(t) = x_+ + (x_1 - x_+) \cos(\omega t - \pi)$ (добавилость пол-периода), и закончится в $x_2 = x(T) = 2 x_+ - x_1 = x_0 + 2 x_+ - 2 x_- = x_0 - 4 x_-$. Итого, каждое полуколебание отжирает 2 x_-$ амплитуды. И амплитуда уменьшается скачковато-линейно. Еще сразу понятно, что маятник остановиться за конечное время.

Для полного решения необходимо рассмотреть начальное условие с ненулевой скоростью. Ну, это совсем просто - по знаку скорости определяем, на каком витке находимся, и применяем соответсвующее уравнение.

Дополнительной проверкой служит расчет потенциальной энергии маятника в точках остановки. Ее разница, естественно, в точности равна работе силы трения.

Мой вывод - формулы экспоненциального затухания в справочниках относятся только к (слабо-)вязкой среде, с линейной зависимостью трения от скорости. К скольжению они не применимы.

Dan_Te писал(а):

В этой ветке много сообщений под гостем, поэтому я подписал ваше сообщение.
Dan_Te

Большое спасибо. Я писал его часа три с перерывами, видимо сессия потерялась. Был весьма обескуражен, но сделать ничего уже не мог.

P.S. Если кто-нибудь подскажет, как/где можно картинки поместить, я попробую нарисовать...