Класс сопряженности в группе подстановок

[Ven0m104]

У меня есть группа $S_{4}$ и один её элемент, а именно $(1,2) (3,4)$. Нужно найти класс сопряженности этого элемента.
Мне кажется, отталкиваясь от определения сопряженных элементов : a сопр. b при $a=gbg^-1$, остается показать, что a и b имеют одинаковую длину цикла(под циклом имеется ввиду то, что подстановка обратится в еденичную, умножаясь некотоое число раз сама на себя) и кол-во перестановок(именно это не получается), тогда задача сводится к отысканию соответствующих этим требованиям элементов в группе для указанной выше подстановки. Так же принял бы другие методы решения. Заранее спасибо.

[Профессор Снэйп]

Для произвольного $g \in S_4$ выполнено

$$ g(1,2)(3,4)g^{-1} = (g(1),g(2))(g(3),g(4)) $$

так что задача мегаочевидна.

[Ven0m104]

Профессор Снэйп в сообщении #270656 писал(а):

Для произвольного $g \in S_4$ выполнено

$$ g(1,2)(3,4)g^{-1} = (g(1),g(2))(g(3),g(4)) $$

так что задача мегаочевидна.

Не могу судить об очевидности т.к. ничего не понял. куда делось $g^-1$ ?
И что дает это выражение?

[Профессор Снэйп]

Ven0m104 в сообщении #270674 писал(а):

Не могу судить об очевидности т.к. ничего не понял.

А что тут понимать? Пусть $f = (1,2)(3,4)$ и $h = gfg^{-1}$. Чему равно $h(g(1))$? Очевидно, $h(g(1)) = g(f(g^{-1}(g(1)))) = g(f(1)) = g(2)$. Ну и т. д., $h(g(2)) = g(1)$, $h(g(3)) = g(4)$ и $h(g(4)) = g(3)$, то есть $h = (g(1),g(2))(g(3),g(4))$.

-- Сб дек 12, 2009 20:36:25 --

Ven0m104 в сообщении #270674 писал(а):

И что дает это выражение?

Общий вид сопряжённой к $(1,2)(3,4)$ перестановки, то есть, в точности, то, что Вам требуется в задаче.

[Ven0m104]

Понятно. Спасибо за уделенное время.

[Профессор Снэйп]

А ещё можно было так: когда группа действует на себе посредством сопряжения, то длина орбиты элемента равна индексу его нормализатора и т. п. То есть надо сначала выяснить, какие перестановки коммутируют с $(1,2)(3,4)$, а затем взять подгруппу этих перестановок, выписать множество смежных классов по этой подгруппе и с этими смежными классами искать орбиту.

Получается, что $4 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 8$ из $4! = 24$ подстановок коммутируют с $(1,2)(3,4)$, так что всего будет ровно $24/8 = 3$ сопряжённых с $(1,2)(3,4)$ различных подстановки: $(1,2)(3,4)$, $(1,3)(2,4)$ и $(1,4)(2,3)$.