Доказать, что множество является гладким многообразием

[smile]

И не просто множество, а группа $SO(3)$, стандартно вложенная в ${R}^{9}$ со скалярным произведением матриц $tr(A^{T},B)$. есть две идеи - сослаться на теорему о том, что множество выделенное системой уравнений с всюду максимальным рангом матрицы Якоби будет гладким подмногообразием подходящей размерности, но здесь я прихожу к тому, что множество выделяется десятью скалярными уравнениями:
$(G(A) = )detA - 1 = 0$
$(F_{ij}(A) = )a_{i}^{k}a_{k}^{j} - \delta_{i}^{j} = 0$
с матрицей якоби каждой из этих функций все, вроде бы, ясно: у функции G это будет строчка из всех миноров 2 на 2, для функций $F_{if} {\partial F_{ij}}/{\partial a_{p}^{q}} = \delta^{qj}a_{i}^{p} + \delta_{pi}a_{q}^{j}$. Вот тут я отчаянно перестаю понимать, что делать дальше. Как из этого скопления выбрать независимые функции? Интуиция подсказывает, что многообразие трехмерно, так что надо выбрать из девяти пять функций. скалярные произведения всевозможных строк? но и в этом случае как убеждаться, что ранг не упадет, когда мы прицепим к пяти градиентам градиент функции G?
Второй путь решения видится в доказательстве такой леммы: пусть есть два гладких многообразия $M^{m} и N^{n}$ с конечными атласами $A_{M} = $\{(U_{i}, \phi_{i})\}, A_{N} = \{(V_{j}, \psi_{j})\}. Тогда их декартово произведение L с атласом $A_{L} = \{(U_{i}*V_{j} = W_{ij}, (\phi_{i}, \psi_{j})\}$ будет гладким многообразием размерности m + n. Это верно?
Мне кажется, что да

[ewert]

А чем, собственно, эйлеровы углы для локальной параметризации не подходят?

Если две ортогональные матрицы близки, то их отношение близко к единичной матрице. Ортогональная матрица, близкая к единичной, однозначно раскладывается в произведение трёх матриц Гивенса, каждая из которых, в свою очередь, однозначно задаётся одним из эйлеровых углов (однозначно при условии, что каждый из этих углов мал). Зависимость элементов матриц от этих углов даже не то что бесконечно дифференцируема, но аналитична. Чего ещё желать?...

[Профессор Снэйп]

Хуже нет занятия, чем доказывать очевидные вещи!