кратномасштабный неортогональный гармонический базис

[pupsel]

Вейвлеты применительно к гармоническому анализу

Существуют вейвлет базисы, похожие на гармоники, они на протяжении своего окна несколько раз флуктуируют и к краям затухают. На их основе можно рассматривать сигнал в измерениях время-амплитуда-фаза-частота.

В таких базисах не нравится 2 вещи
1. ортогональность (по частоте-времени)
2. слабая схожесть с гармоникой (затухают на краях)

Ортогональность не нравится потому что в этом случае отсчеты по ортогональному измерению базиса становятся дискретными. Реальные значения в сигнале не обязаны располагаться именно в точках дискретного отсчета. Тоесть при представлении такого сигнала набором таких базисных элементов теряется точность.

Слабая схожесть с гармоникой не нравится потому что мои сигналы являются композициями гармоник (с плывущими параметрами, но не важно). А разлагаю не на гармоники а на "похожие" штуки.

Существуют ли какие либо вейвлет-техники чтобы эти 2 пункта побороть?

Если отвлечся именно от вейвлетов - то в общем случае ставится задача разложения сигнала в кратномасштабный гармонический неортогональный базис.

[pupsel]

А может такое вообще не возможно?

Базисный шаблон такой:
Задается константа временной протяженности "количество периодов гармоники на окно", например, $K=10$
Ядро базиса - гармоника от периода $T$, амплитуды $A$, фазы $P$, длиной $K*T$. Тоесть $B(T,A,P,x) = A*cos(2*pi*(x-x0)/T + P)$; $x$ принадлежит $[x0-K*T/2, x0+K*T/2]$, $x0$ - точка сигнала, в которой производится разложение.

На выходе разложения некоторое количество триплетов $T,A,P$. Количество и значения триплетов - искомые величины. Это в дискретном случае.

В непрерывном - на выходе разложения 2-функция
$A(T), P(T)$, для $T$ из некоторого диапазона периодов.

У меня большое ощущение что разложение на такой базис вполне себе возможно.

Специалисты проконсультируйте пожалуйста, я в бреду?

[pupsel]

Оказалось что такой вайвлет базис очень даже возможен, только дорого стоит. Да и не совсем "вейвлет преобразование" получилось.

для сигнала $y(x), x \in [a,b]$ разложение для точки $b$ в базис "кусков гармоник" периода $t$, амплитуды $a$, фазы $p$, длины $const*t$( x \in [$b-const*t$, $b$]) необходимы три крайне тяжеловесные процедуры

1. НЧ фильтрация $y(x)$ по периоду $t(x)$ (свертка с НЧ sinc, зависящего от $x$, возможно усиленного чем нибудь типа окна кайзера)
2. свертка $y(x)$c базисом для переменного $t$ (дискретная или непрерывная, зависит от способа подачи $y(x)$ ) - получение "отклика"
3. деконволюция отклика сигнала по отклику единичного вейвлета (т.к. обе свертки - линейные преобразования относительно вейвлет базиса)

пункт 1 не является обязательным, лишь устраняет ВЧ помеху (ито не полностью), скрывающуюся в том что вейвлет периода t не покрывает сигнал для $x<(b-const*t)$.

пункт 2 - сам бог велел... Преобразование сигнала из области $x$ в область аргументов базиса $t,a,p$ для заданного $const$

пункт 3 - это самая массивная часть. Если на первых двух еще можно было сэкономить быстрыми фурье свертками или еще там чем то, тут не очень.. Отклик единичного вейвлета имеет очень сильную локализацию по частоте фурье-преобразования (и меллина тоже) по $t$. Поэтому для развертки не годятся методы фурье (теорема о свертке), даже с регуляризацией. Так же, плохо себя показывают обратные фильтры. Я пробывал только линейные КИХ полученные МНК и другими способами. Выход нашелся в нелинейном МНК - как аппроксимация отклика сигнала откликами базиса, очень на руку сильная локализация отклика на единичный вейвлет в области $x$. Дорого в плане численных расчетов (4-20 итераций МНК, одна итерация это транспонирование матрицы NxN плюс решение слау NxN где N - размерность сетки периода вейвлета, у меня N не менее 1000, на все про все на современной ЭВМ 10-60 сек для N~500, 100~600 сек на N~1000) но достаточно точно, отклонение отклика сигнала от отклика, восстановленного из спектра - на уровне машинной точности в минус 16 порядков. Хотя есть еще минусы...

Признаюсь честно, хотел использовать для анализа финансовых показателей (различные курсы стоимости, акции, валюты). Пришел к выводу что не стоит искать гармоничности (да и периодичности тоже) там где их нет.

Кому интересно, поделюсь информацией.