Соотношение между корнями многочленов.

[Imperator]

Пусть $f(x)$ - многочлен n-й степени, а $f'(x)$ - его производная. Составим разности между каждым из корней уравнения $f(x)=0$ и каждым из корней уравнения $f'(x)=0$.
Вычислить сумму величин, обратных полученным разностям.

[Руст]

Из

$$\frac{f'(x)}{f(x)}= \sum_i \frac{1}{x-x_i} \ \ f(x_i)=0, \ f'(y_j)=0,$$

получаем, что $0=\sum_i \frac{1}{y_j-x_i}$ а значит и искомая сумма равна нулю.

[Imperator]

А если уравнение $f(x)=0$ имеет кратные корни?

[незваный гость]

То производная и функция имеют общие корни. И значение описываемого Вами выражения не определено (бесконечность?!?). Но суммируя эти бесконечности мы получим ноль по непрервности.

[Imperator]

незваный гость
Если многочлен $f(x)$ имеет кратные корни, то алгебраические уравнения
$f(x)=0$ и $f'(x)=0$ имеют общие корни, а сумма величин, обратных разностям
между корнями этих уравнений, обращается в бесконечность.

[незваный гость]

Бесконечность суть обозначение, путать его с числом негоже. Посему Ваше утверждение провисает в воздухе. Вспомните, что значит -- предел "равен" бесконечности? В поле действительных или комплексных чисел операция деления на ноль не определена, соответственно вычислить непосредственно выражение мы не можем. Если рассматривать псевдо-числа "бесконечности", то мы имеем более чем одно бесконечное слагаемое в сумме, и сумма снова не определена. Если же рассмотреть непрерывное приближение, то получим ноль, как и было сказано.