Вычислить интеграл

[valiko]

Доброго времени суток.
Прошу помочь решить задачку:
Вычислить интеграл:

$$\int\limits_0^{+\infty} \frac{\ln(1+\alpha^2x^2)}{\beta^2+x^2}\,dx,~~\alpha>0, \beta>0$$

Обозначим $F(\alpha,\beta) = \int\limits_0^{+\infty} \frac{\ln(1+\alpha^2x^2)}{\beta^2+x^2}\,dx$
На полуинтервале $0<\alpha\le A~~\forall A$ интеграл равномерно сходится по $\alpha$, подинтегральная функция непрерывна, поэтому $F$ непрерывна по $\alpha$.
$F'_\alpha = \int\limits_0^{+\infty} \frac{2x^2\alpha dx}{(\beta^2+x^2)(1+\alpha^2x^2)}$
Здесь возникают два случая:
1) $\beta = \pm \frac{1}{\alpha}$
$F'_\alpha = \frac{2}{\alpha}\int\limits_0^{+\infty} \frac{x^2dx}{(x^2+\frac{1}{\alpha^2})^2}= \frac{1}{\alpha}\int\limits_0^{+\infty} \frac{xd(x^2+\frac{1}{\alpha^2})}{(x^2+\frac{1}{\alpha^2})}$
Интегрируем по частям и получаем:
$F'_\alpha = \frac{1}{\alpha}\left(-\frac{x}{x^2+\frac{1}{\alpha^2}}|\limits_0^{+\infty} + \int\limits_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2+\frac{1}{\alpha^2}} = \frac{1}{\alpha} \alpha \arctg{x\alpha}|\limits_0^{+\infty}\right) = \frac{\pi}{2}$
Тогда $F = \frac{\pi\alpha}{2} + C(\beta) = \frac{\pi\aplha}{2}$

2) $\beta \neq \pm \frac{1}{\alpha}$
для удобства обозначим $\frac{1}{\alpha} = \gamma$

$F'_\alpha = 2\gamma \int\limits_0^{+\infty} \frac{x^2dx}{(x^2+\gamma^2)(x^2+\beta^2)}= 2\gamma \int\limits_0^{+\infty} \left(\frac{\frac{\gamma^2}{\gamma^2-\beta^2}}{x^2+\gamma^2} - \frac{\frac{\beta^2}{\gamma^2-\beta^2}}{x^2+\beta^2}\right)dx = \frac{2\gamma}{\gamma^2- \beta^2} (\gamma-\beta) = \frac{\pi\gamma}{\gamma+\beta} = \frac{\pi}{1+\alpha\beta}$

$F = \frac{\pi}{\beta} \ln{(1+\alpha\beta)} + C(\beta) = \frac{\pi}{\beta}\ln{(1+\alpha\beta)}$
По случаю 1) получаем $F(1,1) = \frac{\pi}{2}$, а по случаю 2) $\lim_{\alpha\to 1}F(\alpha,1) = \pi\ln{2}$, т.е. функция $F$ разрывна. Где ошибка в рассуждениях?

[ewert]

А какое право Вы имеете в первом случае интегрировать частную производную по альфе, если там альфа и бета однозначно связаны?...

(первый случай вообще не нужен -- достаточно того, что формула верна при $\alpha\beta\ne\pm1$ и что интеграл непрерывен по совокупности параметров)

[valiko]

Мы можем взглянуть на нее как на функцию от альфа при фиксированном бета. Подинтегральные производные непрерывны, интгерал из производных равномерно сходится, поэтому мы можем дифференцировать и производная равна тому, что я написал.
Я имею ввиду случай 2.
Тогда вопрос: что делать при альфа и бета равных 1?

-- Чт дек 10, 2009 15:50:35 --

А, интеграл же непрерывен. Вопрос снимается.

[ewert]

valiko в сообщении #269890 писал(а):

Мы можем взглянуть на нее как на функцию от альфа при фиксированном бета.

Но мы не можем потом её интегрировать по альфе при фиксированной бете, т.к. уйдём с линии $\alpha\beta=\pm1$.

[valiko]

Да, я понял. ewert, благодарю вас.