2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить интеграл
Сообщение10.12.2009, 14:19 
Аватара пользователя


27/05/09
21
Доброго времени суток.
Прошу помочь решить задачку:
Вычислить интеграл:
$$\int\limits_0^{+\infty} \frac{\ln(1+\alpha^2x^2)}{\beta^2+x^2}\,dx,~~\alpha>0, \beta>0$$

Обозначим $F(\alpha,\beta) = \int\limits_0^{+\infty} \frac{\ln(1+\alpha^2x^2)}{\beta^2+x^2}\,dx$
На полуинтервале $0<\alpha\le A~~\forall A$ интеграл равномерно сходится по $\alpha$, подинтегральная функция непрерывна, поэтому $F$ непрерывна по $\alpha$.
$F'_\alpha = \int\limits_0^{+\infty} \frac{2x^2\alpha dx}{(\beta^2+x^2)(1+\alpha^2x^2)}$
Здесь возникают два случая:
1) $\beta = \pm \frac{1}{\alpha}$
$F'_\alpha = \frac{2}{\alpha}\int\limits_0^{+\infty} \frac{x^2dx}{(x^2+\frac{1}{\alpha^2})^2}= \frac{1}{\alpha}\int\limits_0^{+\infty} \frac{xd(x^2+\frac{1}{\alpha^2})}{(x^2+\frac{1}{\alpha^2})}$
Интегрируем по частям и получаем:
$F'_\alpha = \frac{1}{\alpha}\left(-\frac{x}{x^2+\frac{1}{\alpha^2}}|\limits_0^{+\infty} + \int\limits_0^{+\infty} \frac{dx}{x^2+\frac{1}{\alpha^2}} = \frac{1}{\alpha} \alpha \arctg{x\alpha}|\limits_0^{+\infty}\right) = \frac{\pi}{2}$
Тогда $F = \frac{\pi\alpha}{2} + C(\beta) = \frac{\pi\aplha}{2}$

2) $\beta \neq \pm \frac{1}{\alpha}$
для удобства обозначим $\frac{1}{\alpha} = \gamma$

$F'_\alpha = 2\gamma \int\limits_0^{+\infty} \frac{x^2dx}{(x^2+\gamma^2)(x^2+\beta^2)}= 2\gamma \int\limits_0^{+\infty} \left(\frac{\frac{\gamma^2}{\gamma^2-\beta^2}}{x^2+\gamma^2} - \frac{\frac{\beta^2}{\gamma^2-\beta^2}}{x^2+\beta^2}\right)dx = \frac{2\gamma}{\gamma^2-
\beta^2} (\gamma-\beta) = \frac{\pi\gamma}{\gamma+\beta} = \frac{\pi}{1+\alpha\beta}$

$F = \frac{\pi}{\beta} \ln{(1+\alpha\beta)} + C(\beta) = \frac{\pi}{\beta}\ln{(1+\alpha\beta)}$
По случаю 1) получаем $F(1,1) = \frac{\pi}{2}$, а по случаю 2) $\lim_{\alpha\to 1}F(\alpha,1) = \pi\ln{2}$, т.е. функция $F$ разрывна. Где ошибка в рассуждениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение10.12.2009, 14:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А какое право Вы имеете в первом случае интегрировать частную производную по альфе, если там альфа и бета однозначно связаны?...

(первый случай вообще не нужен -- достаточно того, что формула верна при $\alpha\beta\ne\pm1$ и что интеграл непрерывен по совокупности параметров)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение10.12.2009, 14:46 
Аватара пользователя


27/05/09
21
Мы можем взглянуть на нее как на функцию от альфа при фиксированном бета. Подинтегральные производные непрерывны, интгерал из производных равномерно сходится, поэтому мы можем дифференцировать и производная равна тому, что я написал.
Я имею ввиду случай 2.
Тогда вопрос: что делать при альфа и бета равных 1?

-- Чт дек 10, 2009 15:50:35 --

А, интеграл же непрерывен. Вопрос снимается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение10.12.2009, 14:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
valiko в сообщении #269890 писал(а):
Мы можем взглянуть на нее как на функцию от альфа при фиксированном бета.

Но мы не можем потом её интегрировать по альфе при фиксированной бете, т.к. уйдём с линии $\alpha\beta=\pm1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение10.12.2009, 14:53 
Аватара пользователя


27/05/09
21
Да, я понял. ewert, благодарю вас.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group