Бета-функция

[milkwacko]

Всем добрый вечер.
Помогите, пожалуйста, решить задачу:
Доказать, что $\beta(p,q) = \int^{+\infty}_1 \frac{x^{p-1}+x^{q-1}}{(1+x)^{p+q}}$

Делаем замену $\frac{1}{1+x} = t, x = \frac{1-t}{t}, dx = -\frac{dt}{t^2}$
$I = \int^1_{\frac{1}{2}} (\frac{(1-t)^{p-1}}{t^{p-1}} + \frac{(1-t)^{q-1}}{t^{q-1}})t^{p+q-2}dt = \int^1_{\frac{1}{2}} (t^{q-1}(1-t)^{p-1} + t^{p-1}(1-t)^{q-1})dt = 2\int^1_{\frac{1}{2}} t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$
Это уже похоже на бета-функцию. Т.е. осталось доказать, что $\int^1_{\frac{1}{2}} t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt = \frac{1}{2}\beta(p,q) = \frac{1}{2}\int^1_0 t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$.
Быть может, подскажете идею, как это сделать?

[Gafield]

milkwacko в сообщении #269625 писал(а):

Делаем замену $\frac{1}{1+x} = t, x = \frac{1-t}{t}, dx = -\frac{dt}{t^2}$
$I = \int^1_{\frac{1}{2}} (\frac{(1-t)^{p-1}}{t^{p-1}} + \frac{(1-t)^{q-1}}{t^{q-1}})t^{p+q-2}dt = \int^1_{\frac{1}{2}} (t^{q-1}(1-t)^{p-1} + t^{p-1}(1-t)^{q-1})dt = 2\int^1_{\frac{1}{2}} t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$

Последнее равенство неверно. В предпоследнем интеграле фактически уже ответ, надо только сделать в одной половине замену $t\to1-z$.

[milkwacko]

Действительно... Глупо ошибся Gafield, спасибо!