Разложение многочлена на множители.

[Marina]

Добрый вечер!

Подскажите, пожайлуста, как решить такую задачу:

"При делении многочлена $P(x)$ на многочлен $(x-a)$получается остаток $C_1$, при делении многочлена $P(x)$ на многочлен $(x-b)$ - остаток $C_2$, а при делении многочлена $P(x)$ на многочлен $(x-a)(x-b)$ - остаток $C_3$. Верно ли, что $C_2=C_1$? ( $a,b,C_1,C_2,C_3$- некоторые числа)

[PAV]

$P(x)=g(x)\cdot(x-a) + C_1$

Какое значение $x$ нужно взять, чтобы $P(x)$ было равно $C_1$?

[Sasha2]

Ну а из такого представления, разве не видно:
$P(x)=h(x)[(x-a)(x-b)]+C_3=[h(x)(x-a)](x-b)+C_3=[h(x)(x-b)](x-a)+C_3$

[Marina]

Sasha2 в сообщении #269642 писал(а):

Ну а из такого представления, разве не видно:
$P(x)=h(x)[(x-a)(x-b)]+C_3=[h(x)(x-a)](x-b)+C_3=[h(x)(x-b)](x-a)+C_3$

Извините, но я как-то не догоняю. Если можно обясните доступно.

[ИСН]

Что значит "при делении многочлена $P(x)$ на многочлен $(x-a)(x-b)$ получается остаток $C_3$"? Как это сказать другими словами?

[Sasha2]

А чем там догонять.
Просто положите сперва x=a, а потом x=b.
Вспомните теорему Безу и будет Вам счастье.

[ewert]

Marina в сообщении #269646 писал(а):

Sasha2 в сообщении #269642 писал(а):

Ну а из такого представления, разве не видно:
$P(x)=h(x)[(x-a)(x-b)]+C_3=[h(x)(x-a)](x-b)+C_3=[h(x)(x-b)](x-a)+C_3$

Извините, но я как-то не догоняю. Если можно обясните доступно.

Имелось в виду, что по определению $h$ есть целая часть и $C$ -- остаток, если:

$P(x)=h_1(x)\cdot(x-a)+C_1;$
$P(x)=h_2(x)\cdot(x-b)+C_2;$
$P(x)=h_3(x)\cdot[(x-a)(x-b)]+C_3.$

Сопоставьте первое с третьим, а затем второе с третьим -- и сделайте выводы.

[Marina]

Если я Вас правильно поняла, многочлен$P(x)$ можно делить на$(x-a)(x-b)$ с остатком $C_3$- при условии, что остатки от предыдущих делений равны нулю т.е. $C_1=C_2=0$?

[TOTAL]

Marina в сообщении #269723 писал(а):

Если я Вас правильно понял, многочлен$P(x)$ можно делить на$(x-a)(x-b)$ с остатком $C_3$- при условии, что остатки от предыдущих делений равны нулю т.е. $C_1=C_2=0$?

Marina понял неправильно.

[ewert]

Нет, неправильно.

Для каждого знаменателя целая часть и остаток определяются однозначно.

Сравните две последних строчки. Как связаны $h_2$ с $h_3$ и $C_2$ с $C_3$?

[Marina]

TOTAL в сообщении #269727 писал(а):

Marina понял неправильно

Пояснить можно?

[TOTAL]

Marina в сообщении #269731 писал(а):

Пояснить можно?

Вот и поясните, как получили свой вывод.

[Marina]

TOTAL, я рассуждала так, если после деления многочлена $P(x)$ на $(x-a)$? многочлен ещё можно подели и на $(x-b)$, следовательно остаток от предыдущего деления был равен нулю $x=a$?
В чём моя ошибка?

[TOTAL]

Marina в сообщении #269750 писал(а):

я рассуждала так, если после деления многочлена $P(x)$ на $(x-a)$? многочлен ещё можно подели и на $(x-b)$, следовательно остаток от предыдущего деления был равен нулю $x=a$?
В чём моя ошибка?

после деления на $(x-a)$ многочлен ещё можно подели и на $(x-b)$??? Что это означает? Как это связано с условием?

[Marina]

TOTAL Многочлен $P(x)$имеет два корня $a$и$b$.