Равномерная сходимость несобственного интеграла

[Ryabsky]

Доказать, что интеграл $I(\alpha)$ сходится равномерно на $\alpha \in (-\infty,1]$:

$$I(\alpha) = \int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,2^{\alpha/x}\,dx$$

Я смог доказать, что интеграл сходится для всех $\alpha$:
$I(\alpha) = \int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,2^{\alpha/x}\,dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_{\pi n}^{\pi n+\pi} \frac{\sin x}{x}\,2^{\alpha/x}\,dx = ...$
...Т. о Среднем...
$... = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^{\alpha/\xi_n} \int\limits_{\pi n}^{\pi n+\pi} (-1)^n \frac{|\sin x|}{x}\,dx$
Ряд сходится (и даже поди ка равномерно) по Абелю: $2^{\alpha/\xi_n}$ монотонна и равномерно ограничена, а интеграл сходится.
Данную последовательность частичных сумм интегралов можно считать самой "худшей" (интеграл зажимается четной и нечетной подпоследовательностью частичных сумм), поэтому из сходимости ряда следует сходимость исходного интеграла.
Подскажите, пожалуйста, как перебраться к равномерной сходимости?
Хотел спихнуть к Вейерштрассу - сгруппировать по 2 члена, чтобы получить знакопостоянный ряд, а затем оценить независимо от $\alpha$. Возникли проблемы для $\alpha<0$ - ряд становится знакоположительным лишь с некоторых пор, а при $\alpha \to -\infty$ эта "некоторая пора" улетает вместе с ней в ту же бесконечность.
На соплях то вроде как понятно, что сходится равномерно, но я не знаю, на чем здесь сыграть, чтобы доказать строго.

[RIP]

Разве у Вас не было признака Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром? См., например, в Фихтенгольце (п.515).