Доказательство. Дифференциальное уравнение.

[ReziduaL18]

Помогите, пожалуйста, доказать, что монотонны все решения $y^$' = $1-y^2$.

Я взял производную по у - получилась непрерывная на всём R*R функция => всё R*R-область единственности.
Нашел корни ур-я - это числа 1 и -1.
т.к всё R*R область единственности, то любые две интегральные кривые не пересекаются,тогда любая кривая лежит либо ниже решения, либо выше решения,либо совпадает с ним.

Отсюда следует, что решения диффура монотонны, так?
Поправьте меня, пожалуйста, если я ошибаюсь.
Заранее спасибо.

[ewert]

Это -- автономное уравнение. Следовательно, если какую интегральную кривую сдвинуть по горизонтали на сколько угодно, то она останется интегральной. Для немонотонных кривых такое невозможно (без их пересечений, что запрещено теоремой единственности).

[ReziduaL18]

ewert, автомномное уравнение это замечательно, но правильно ли мое доказательство?

[ewert]

честно говоря, поскольку факт очевиден -- проверять ещё одно доказательство лень (может, кого другого заинтересует)

[ИСН]

ReziduaL18, Ваши слова равно приложимы к уравнению с такой же правой частью, но умноженной, скажем, на $\sin x$.

[shwedka]

Я бы немного попросила уточнить по поводу единственности. На какую общую теорему можно по этому поводу сослаться? И можно ли?

[ReziduaL18]

shwedka, в данном случае я ссылался на теорему о существовании и единственности решения зазачи Коши.
ИСН, Благодарю за дополнение!

[ewert]

ReziduaL18 в сообщении #269306 писал(а):

ИСН, Благодарю за дополнение!

Это было не дополнение, а возражение -- решения станут периодическими.

[gris]

Доказательство изложено очень невнятно.

Идея ясна: $y=1$ и $y=-1$ являются решениями уравнения.
Из единственности вытекает, что любое другое решение лежит в одной из трёх областей $y<-1;-1<y<1;y>1$.

В каждой из этих областей $1-y^2$, а значит и производная, имеет постоянный знак, то есть функция монотонна.