Система ОДУ

[Gluckman]

Помогите, пожалуйста с системой ОДУ
Ее необходимо решить численно
Обычные методы не подходят

$$\frac {d^2x}{dt^2}+\frac {d^2x_{1}}{dt^2}+c\frac {dx_{1}}{dt} =f_{1}(t)$$ $$\frac {d^2y}{dt^2}+\frac {d^2y_{1}}{dt^2}+c\frac {dy_{1}}{dt} =f_{2}(t)$$ $$cx_{1}=-R_{x}(x,y,\frac {dx}{dt},\frac {dy}{dt})$$ $$cy_{1}=-R_{y}(x,y,\frac {dx}{dt},\frac {dy}{dt})$$

Сложность в том, что аналитического выражения для $R_x$ и $R_y$ не существует

Если решать "в лоб", то это приведет к необходимости вычисления вторых производных от $R_x$ и $R_y$
Данная система ОДУ описывает колебания гибкого вала на гидродинамических подшипниках

[V.V.]

А если решить первые два уравнения относительно $x_1$ и $y_1$ и подставить во вторые два? Получатся интегральные уравнения, но зато производные от $R_x$ и $R_y$ не считать.

[Gluckman]

Я прошу прощения!
в записи системы ошибка((

Вот правильно

$$\frac {d^2x}{dt^2}+\frac {d^2x_{1}}{dt^2}+cx_{1} =f_{1}(t)$$ $$\frac {d^2y}{dt^2}+\frac {d^2y_{1}}{dt^2}+cy_{1} =f_{2}(t)$$ $$cx_{1}=-R_{x}(x,y,\frac {dx}{dt},\frac {dy}{dt})$$ $$cy_{1}=-R_{y}(x,y,\frac {dx}{dt},\frac {dy}{dt})$$

[ewert]

Но ведь дифференцирование по времени выплёвывает третьи производные наружу как просто слагаемые с какими-то множителями. Останется только явно выразить их через остальное -- и всё...

А производные можно считать и численно, какая разница -- система-то всё равно будет численно решаться.

[Gluckman]

ewert в сообщении #269004 писал(а):

Но ведь дифференцирование по времени выплёвывает третьи производные наружу как просто слагаемые с какими-то множителями. Останется только явно выразить их через остальное -- и всё...

Я не совсем понял, сорри
Как именно выразить?

-- Вт дек 08, 2009 11:59:47 --

ewert в сообщении #269004 писал(а):

Но ведь дифференцирование по времени выплёвывает третьи производные наружу как просто слагаемые с какими-то множителями. Останется только явно выразить их через остальное -- и всё...

А производные можно считать и численно, какая разница -- система-то всё равно будет численно решаться.

Дело в том, что хотелось бы избежать дифференцирования правых частей
$R_x и R_y$

[V.V.]

Gluckman в сообщении #269002 писал(а):

$$\frac {d^2x}{dt^2}+\frac {d^2x_{1}}{dt^2}+cx_{1} =f_{1}(t)$$ $$\frac {d^2y}{dt^2}+\frac {d^2y_{1}}{dt^2}+cy_{1} =f_{2}(t)$$ $$cx_{1}=-R_{x}(x,y,\frac {dx}{dt},\frac {dy}{dt})$$ $$cy_{1}=-R_{y}(x,y,\frac {dx}{dt},\frac {dy}{dt})$$

Пусть $c=k^2>0$.
Тогда
$x_1=A_1\cos kt+A_2\sin kt-x(t)+\int\limits_0^t (f_1(\tau)+k^2x(\tau))\frac{\sin k(t-\tau)}{k}\,d\tau$,
$y_1=B_1\cos kt+B_2\sin kt-y(t)+\int\limits_0^t (f_2(\tau)+k^2y(\tau))\frac{\sin k(t-\tau)}{k}\,d\tau$.

Подставляете это в третье и четвертое уравнение, получаете интегро-дифференциальное уравнение. Дифференцировать $R_x$ и $R_y$ не придется.

[ewert]

но поди ещё реши его численно -- интегро-то дифференциальное

[V.V.]

ewert в сообщении #269192 писал(а):

но поди ещё реши его численно -- интегро-то дифференциальное

А в чем проблема? Интегралы считать, вроде, умеем.

[ewert]

Интегралы-то считать, может, и умеем. Но это вовсе ещё не означает, что умеем решать интегральные уравнения.

А вот ОДУ (численно) -- запросто.

[V.V.]

ewert в сообщении #269203 писал(а):

Интегралы-то считать, может, и умеем. Но это вовсе ещё не означает, что умеем решать интегральные уравнения.

Ну, мы возьмем с полки книгу Самарского или Бахвалова и научимся.

[ewert]

Интегральные (и тем более интегро-дифференциальные) уравнения -- штука существенно более сложная для решения, чем просто ОДУ.

[V.V.]

ewert в сообщении #269220 писал(а):

Интегральные (и тем более интегро-дифференциальные) уравнения -- штука существенно более сложная для решения, чем просто ОДУ.

Ага! И там, и там компу надо решать систему линейных алгебраических уравнений. А для задачи Коши для ОДУ надо написать цикл, и готово!

Правда мой подход удовлетворяет желанию топикстартера, чтобы $R_x$ и $R_y$ не дифференцировать...

[ewert]

Не очень понятно, зачем такое желание. Численное дифференцирование не так уж и сильно увеличивает объём вычислений -- всего-то и придётся обращаться к каждой из этих функций в 9 раз чаще.

[V.V.]

ewert в сообщении #269291 писал(а):

Не очень понятно, зачем такое желание. Численное дифференцирование не так уж и сильно увеличивает объём вычислений -- всего-то и придётся обращаться к каждой из этих функций в 9 раз чаще.

Это слишком оптимистичная оценка, даже если предполагать, что нужные нам производные $R_x$ и $R_y$
непрерывны (а такого может и не быть). Ведь для того, чтобы уверенно говорить о производной, надо проверить, что она при $h$ и каком-то меньшем шаге (например, $h/2$) равна с точностью для $\varepsilon$. Если не равна, надо уменьшать шаг. Если есть участки, где функция сильно колеблется, уменьшать шаг надо будет довольно часто.

[ewert]

V.V. в сообщении #269303 писал(а):

Это слишком оптимистичная оценка,

Ну хорошо, если нужен контроль точности -- увеличьте её в два плюс эпсилон раза. Только вряд ли он понадобится. Ведь шаг численного дифференцирования (в отличие от шага интегрирования) можно безнаказанно делать очень маленьким. Ну, скажем, порядка одной милионной, что уже даст порядка двенадцати правильных цифр -- а кому они нужны, эти цтфры, в инженерных задачах.