численное решение трансцендентных уравнений

[BapuK]

Дали задание по инорматике найти решение системы уравнений итерационным методом, хоть задание и по информатике все таки тут сложность не запрограммировать, а представить уравнения таким образом чтоб итерационный метод сходился, собственно вот система:
$x^2 + sin(y^2) = 1$
$y = x*e^{xy}$
второе уравнение я оставил без изменений, а первое представлял в виде
$x = \sqrt{1 - sin(y^2)}$ и в виде $x = x^2 + sin(y^2) + x - 1$ оба уравнения не дают сходимости, пожалуйста помогите а то уже завтра сдавать

[BapuK]

подскажите в каком направлении хотя бы думать...

[Sasha2]

Честно говоря, я не знаю, как такие уравнения решать.
Но вот может быть такие соображения помогут:
1) Прежде всего убеждаемся, что $y$ не может быть равно нулю.
2) Домножив второе уравнение на $y$, видим, что если $x$ и $y$ корни данной системы, то и $-x$ и $-y$ также корни этой системы.
3) Из второго уравнения легко получаем, что $|x|<1$, а также что числа $x$ и $y$ - это числа одного знака.
4) А из первого уравнения (в силу известного неравенства $\frac{2}{\pi}*z<sin(z)<z$ при $0<z<\frac{\pi}{2}$, получаем, что $|y|<\sqrt{\frac{\pi}{2}}$.

Честно говоря, не знаю помогут или нет эти соображения Вам при решении этой системы.

[BapuK]

ну вообще особо не поможет эта информация суть метода заключаеца в этом:
путсь имеется ур-ие $f(x)=0$, на отрезке $[a,b]$ имеется единственный корень этого уравнения $x^0$
пусть на этом сигменте определена некоторая непрер. ф-ия $g(x)$, тогда уравнение вида $x = x - g(x)*f(x)$ так же имеет корень $x^0$.
в итоге нужно найти ф-ию $g(x)$ таким образом чтобы итерационный процесс $x_{i} = h(x_{i-1})$, где $h(x) = x - g(x)*f(x)$ сходился
ну это все справедливо как для 1ой переменной так и для $n$ переменных, если под $f(x) =0$ понимать систему из $n$ уравнений

[mserg]

По-моему, это провокация. Ниже приведены все неотрицательные решения для $y \le 10$.

0.606139426305376, 1.56738425100591
0.576020368165861, 2.64857938586346
0.400005442757919, 7.23946129995653
0.389041738800371, 7.66008088374924
0.371856787730303, 8.37578015930595
0.370421784538908, 8.43894975802444
0.34829261094566, 9.48857581861441
0.342981220503811, 9.76363876117929
0.342035940024438, 9.81361972777974
0.562279423816835, 2.94478568939786
0.447158854629113, 5.68711731514454
0.414972185870155, 6.70503307928877
0.494424434765456, 4.43914865534143
0.426690005154908, 6.31529025024214
0.379250242705245, 8.05888554117826
0.412423762339445, 6.79300739591677
0.487959114752429, 4.59618465092767
0.468169746148579, 5.10183435875112
0.528812602038525, 3.65659511478834
0.463335024315057, 5.23174158178239
0.356202058513576, 9.09631657396363
0.362397388347748, 8.80268759457918
0.443373053489843, 5.79866377284585
0.545392131318117, 0.882593263111546
0.519607548680524, 3.85870828369733
0.355053569083102, 9.1520356911336
0.390903591046469, 7.5867878430611
0.429756501233359, 6.21710343296943
0.380875819926386, 7.99107476586552
0.402166236487526, 7.15957896699211
0.363676035727033, 8.7435038834788
0.349331386232667, 9.43589923145353

Чтобы была сходимость, нужно двигаться маленькими (а может быть еще и убывающими) шажками. А иначе будет "прыгание" переменных. Кроме этого, нет уверенности, что система итераций не сойдется туда, где нет решения...

[ИСН]

Всё фигня.
Чтобы итерационный процесс сходился, надо смотреть на производную в неподвижной точке. Эквивалентными преобразованиями (т.е. не меняя корней) можно как испортить, так и починить сходимость.
Пример: итерационный процесс $x_{n+1}=a/x_n$ имеет своей неподвижной точкой $\sqrt a$, но со сходимостью у него большие проблемы. Зато другой, похожий на него...

[BapuK]

намекаете на $x_{n+1} = a/x_n^2$? ну в принципе корней мы наверное не потеряем, если рассматривать случаи с положительным и отрицательным $a$, ну в том то и проблема, что я немогу найти эти преобразования чтобы получить сходящийся процесс
сделаю предположение что во втором уравнении мы можем возвести правую часть в квадрат, т.к. $|x|<1$ то по идее процесс будет для 2го уравнения сходиться, но вот что сделать с первым понятия не имею...
P.S. и что такое неподвижная точка? точка в которой производная в ноль обращается?

[ИСН]

Неподвижная точка - это то, что Вы ищете. Иными словами, корень. Неподвижная она потому, что дальнейшие итерации её никуда не двигают. "Приехали, слезай с коня".
Намекаю я на нечто другое (ключевые слова: метод Ньютона). У него неподвижная точка та же самая, но он к ней ещё и сходится.

[BapuK]

ясно, $x_n=x_{n-1} - f(x_{x-1})/f'(x_{n-1})$ это для одной переменной,а как быть с 2мя? просто брать производную по той переменной которую выражаем?, т.е. в первом ур-ий берем производную по $x$, во втором по $y$ и подставляем в формулу?

[ewert]

так же, но в векторном виде, причём под делением на производную понимается умножение на матрицу, обратную к матрице Якоби.

(Кстати, метод Ньютона, конечно тоже итерационный, но называть его "методом итераций" не принято. Зато он почти всегда сходится, если выбрать достаточно хорошую начальную точку, и жутко быстро сходится.)

[BapuK]

спасибо всем!) завтра на паре буду сидеть мучаться и выражать) мб че да получится