Неравенство

[Sasha2]

Не получается найти изящное решение следующего неравенства:

$\frac{4x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}>2$, где $x,y$ и $z$ положительные вещественные числа.
Неужели остается только в лоб перемножать и искать необходимую комбинацию?

[gris]

а тут просто по здравому смыслу. Во-первых, умножив числители и знаменатели на необходимое число, можно дать условие, что все числа не меньше 1. А потом смотрим - $x$ нужно уменьшать, а остальные увеличивать, чтобы сумма уменьшалась. Минимальная она будет, если $x=1$, а $y$ и $z$ увеличивать до безобразия. Но даже в пределе получим 2. Так что оценку не улучшить.

[Sasha2]

Я вот попробовал перейти к другим переменным:
$x+y=a$
$x+z=b$
$y+z=c$

Тогда неравенство преобразуется к такому виду:

$\frac{4(a+b-c)}{2c}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{b+c-a}{2a}>2$

Или перегруппировывая члены, получаем:
$(\frac{2a}{c}+\frac{c}{2a})+(\frac{2b}{c}+\frac{c}{2b})+\frac{1}{2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})>5$.

Осталось показать, что неравенство действительно строгое.
Сейчас подумаю, как.

[ewert]

Из-за однородности можно считать $x=1$, т.е. надо минимизировать функцию $F(y,z)=\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{y}{1+z}+\dfrac{z}{1+y}$. Её вторая частная производная по игреку, очевидно, положительна, а это означает, что при фиксированном $z$ эта функция имеет ровно один минимум по переменной $y$. Из симметричности следует, что этот минимум достигается при $y=z$. Подстановка даёт целевую функцию $f(z)=\dfrac{2}{z}+\dfrac{2z}{1+z}$, и остаётся только доказать, что она монотонно убывает (глобальный минимум "достигается" на бесконечности, потому неравенство и строгое).

-- Вс дек 06, 2009 19:44:44 --

Sasha2 в сообщении #268491 писал(а):

Осталось показать, что неравенство действительно строгое.

Очень просто: равенство будет только тогда, когда слагаемые в каждой скобке одинаковы, а это одновременно невозможно.

[Sasha2]

А у меня предположение $a=b=\frac{c}{2}$ (условие, когда неравенство превращается в равенство) сразу же влечет за собой, например $x=0$, что противореччит исходному условию.

Ну и наконец, исходное неравенство, если снова вернуться к переменным $x, y$ и z сожет быть переписано в следующей эквивалентной форме:

$[\frac{2(x+y)}{y+z}+\frac{y+z}{2(x+y)}]+[\frac{2(x+z)}{y+z}+\frac{y+z}{2(x+z)}]+\frac{1}{2}[\frac{x+y}{x+z}+\frac{x+z}{x+y}]-3>2$, что фактически превращает данную задачу в доказательство тождества. Ну и со сстрогостью там тоже проблем не возникает.