Непонятки с рядами

[Eiktyrnir]

Уважаемые корифеи высшей математики!
Помогите взять следующие ряды и понять решение других.
1). Доказать справедливость равенства, ответом служит число \rho, полученное при применении признака Даламбера или Коши.
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(2n)!!}{n^{n}} = 0$
Что к чему не пойму. Допустим я знаю эти признаки для определения сходимости ряда.
Коши:
$\lim\limits_{n \to \infty} $\sqrt[n]{a_{n}}} < 1$
Даламбер:
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1$
При выполнении одного из этих признаков (а именно когда соответсвующий предел меньше единицы - следует что данный ряд сходится). Применение того или иного признака зависит от удобства работы с a_{n} членом ряда (точнее от того как выглядит a_{n} член).
Но здесь что к чему - не пойму?
Допустим, что
$\frac{(2n)!!}{n^{n}}$ - это то, что осталось от применения Признака Коши. Тогда получается, что
$\lim\limits_{n \to \infty} $\sqrt[n]{a_{n}}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(2n)!!}{n^{n}} = 0$
Ну и что? А как найти \rho? Я понимаю, что выгляжу абсолютно идиотом спрашивая это - но реально немогу логику отследить что есть \rho и как оно в данном случае находится?
2). Доказать, исходя из определения равномерной сходимости функционального ряда на отрезке [0;1] при каких n абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0,1 $\forall x\in[0;1]$
\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{n}}{4n-6}
Насколько я понял определение и вообще решение подобных задач, то сделал я следующее.
Будем исследовать ряд составленный из модулей вышеприведенного ряда. Т.е. исследуем на равномерную сходимость ряд
\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^{n}}{4n-6}
Воспользуемся признаком Абеля
a_{n}(x)=\frac{1}{4n-6},b_{n}(x)=x^{n}
1)$\frac{1}{4n-6}\to -\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4n-6}$ – убывает на промежутке [0;1]
2)$S_{n}(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n}$
Вот тут первая трудность – как определить эту частичную сумму?! Явно что функция S_{n}(x) непрерывная. А если так, то значит по теореме о непрерывности можно утверждать, что ряд сходится равномерно. А можно ли?
Со вторым вопросом пока неясно. Так как при каких n абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0,1 $\forallX\in[0;1]$ – пока у меня сложно. Я так понимаю, что остаточный член записывается в некоем виде для данного ряда. А вот каков у него вид – я понять не могу в данном случае.
3). Исследовать на сходимость ряд \sum\limits_{n=1}^\infty(\frac{2n^{2}+1}{n^{2}+1})^{n^{2}}
Я поступил «от лукавого» (и засомневался конечно же).
Сделал такую замену m=n^{2} и получил «удобный ряд»\sum\limits_{m=1}^\infty(\frac{2m+1}{m+1})^{m}
И применив признак Коши уже для этого «удобного ряда» я получил что он сходится (там экспонента со степенью в знаменателе получается). Но сомнения одолевают – развеить можно их.
4). Исследовать на сходимость ряд
\sum\limits_{m=1}^\infty\frac{ln^{100}(n)}{n}sin(\frac{n\pi}{4})
Решение нашел в И.И.Ляшко, А.К.Боярчук, Я.Г.Гай, Г.П.Головач «Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента», Т.2 (стр.29) но честно говоря непонял ничего
Как это – поясните пожалуйста?

Цитата:

$|\sum\limits_{m=1}^\infty(sin(\frac{n\pi}{4}))|$=$sin(\frac{\pi}{8})^{-1}|sin(\frac{\pi}{8})sin\frac{(n+1)\pi}{8}|$<$\frac{1}{sin(\frac{\pi}{8})}$
а последовательность (n^{-1}ln^{100}n), начиная с достаточно большого n, монотонно стремится к нулю (это вытекает из того, что
$\lim\limits_{n \to \infty} $x^{-1}ln^{100}x} =100 \lim\limits_{n \to \infty} x^{-1}ln^{99}x} = 0$, (x^{-1}ln^{100}x)’ < 0 $\forall x>e^{100},
то, согласно признаку Дирихле, данный ряд сходится.

Немного неясно и 1-е выражение и 2-е в данном решении. Просто я "поступил проще" (ошибся т.е.). Раз $|sin(\frac{n\pi}{8})|=1$, то исследовал на сходимость ряд взятый из модулей ряда – а он согласно интегральному признаку Коши – расходится. В решении приводимом в книге явной ошибки быть не должно – ошибка точно у меня. Но я не могу понять их решение. Проясните, пожалуйста.

Буду весьма вам признателен как всегда за вашу помощь.
С глубоким уважением, Eiktyrnir.

[gris]

3. Неправильно переписали (?)
Общий член не стремится к 0.

[ewert]

1). По признаку Даламбера получается $\rho={2\over e}<1$ и, следовательно, ряд из таких членов сходится. А тогда по необходимому условию сходимости -- общий член стремится к нулю. (Хотя ссылаться здесь на ряды -- это несколько чесать правое ухо левой ногой.)

2). При чём тут равномерная сходимость -- непонятно (хотя она и есть). А вот зато по признаку Лейбница модуль остаточного члена не превосходит модуля первого из отброшенных членов (т.е. его максимума по всем иксам), причём оценка эта -- точная (по порядку, но не по масштабу: завышена примерно вдвое).

4). Цитата с суммой только всех синусов -- переврана, там все буковки перепутаны. Имелась в виду частичная сумма, явное выражение для неё и его оценка. Получить её можно, например, выражая синусы через комплексные экспоненты и суммируя получившиеся геометрические прогрессии. Только не нужно. Эти синусы меняются как $\{0,\;{\sqrt2\over2},\;1,\;{\sqrt2\over2},\;0,\;-{\sqrt2\over2},\;-1,\;-{\sqrt2\over2},\;\ldots\}$ (далее периодически). Совершенно очевидно, что их суммы лежат в диапазоне от $0$ до $1+\sqrt2$.

А, да, там ещё вторая строчка. При вычислении предела они ссылаются на правило Лопиталя, только не очень грамотно: зачем-то используют индукцию, хотя надо было просто предварительно извлечь корень сотой степени.

Eiktyrnir в сообщении #268404 писал(а):

исследовал на сходимость ряд взятый из модулей ряда – а он согласно интегральному признаку Коши – расходится.

Он-то расходится. Только означает это лишь то, что исходный ряд не сходится абсолютно. А вот сходиться условно он вполне может (что он и делает).

[Eiktyrnir]

gris писал(а):

3. Неправильно переписали (?)
Общий член не стремится к 0.

Возможно. Книгу унесли. Я гляну на выходных. Спасибо. Что-то не подумал об этом.

ewert писал(а):

...

Спасибо вам мил человек и низкий поклон.