Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла

[bullseye]

Добрый вечер!
Вычислить объем тела G с помощью тройного интеграла.
G: { $x^2+y^2 \leqslant 16, 0 \leqslant z \leqslant 16-y^2$ }
Первое уравнение задает цилиндр с радиусом 4, а что задает вот это уравнение $0 \leqslant z \leqslant 16-y^2$ ? Если разбить на части, то z $\leqslant 16-y^2$ - это порабола. То есть эта порабола будет "накрывать" цилиндр и заканчиваться в 0?
Переходя к цилиндрическим координатам получаем: $\rho^2\cos^2\phi+\rho^2\sin^2\phi=16, \rho=4$ переходя к цилиндрическим координатам во-втором уравнении, получаем: $z=16-\rho^2\sin^2\phi, \rho=4/\sin\phi$
Пределы по $\phi$ будут: от $0 до \pi$ а для z от 0 до 4. В ответе получается неразбериха. Помогите или наведите на путь истинный! Спасибо!











Будьте добры, хотябы намекните

[ewert]

Намекаю. Тупо интегрируйте в цилиндрических координатах по всему кругу. Благо что во всём круге Ваша вторая поверхность -- лежит заведомо выше горизонтальной плоскости.

[Sintanial]

Да вы вроде верно сделали....ну если я не ошибаюсь то будет так :

$$\int\limits_{0}^{4} \rho d\rho \int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{16-\rho^2\sin ^2 \varphi} dz$$

Ответ должен получиться 192$\pi$ вроде как

[bullseye]

Спасибо!