Исследовать числовой ряд на абс. и усл. сходимость

[KocTuK]

1) $\sum\limits_{n=1}^\infty \sin(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}) \frac{\tg\frac{n+1}{n^2 + 1}}{\ln^2(3n+1)} $
знак от функции синуса меняется каждые два значения $n$, так что ряд даже на типичный знакочередующийся не совсем похож =\
2)$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \sin^2 \frac{1}{ln(n+1)}$
удовлетворяет условиям критерия лейбница, сходится как минимум условно, а вот абсолютная сходимость вызвала затруднение =(

-- Сб дек 05, 2009 16:03:15 --

чую, что надо применять критерий сравнения, но только вот с чем сравнивать Во втором ряду имеется нечто похожее на второй замечательный предел, но это чудо находится под функцией синуса - особо не применишь :(

[AD]

KocTuK в сообщении #268169 писал(а):

знак от функции синуса меняется каждые два значения n, так что ряд даже на типичный знакочередующийся не совсем похож =\

Тем не менее, признак Дирихле должен справиться.

KocTuK в сообщении #268169 писал(а):

а вот абсолютная сходимость вызвала затруднение =(

А что интегральный признак говорит?

[Cave]

1) А если сумму этих двух значений обозначить за одно новое, то знак нового будет...
Независимо от этого, для проверки абсолютной сходимости нужно вспомнить, чему эквивалентен $\sin x$ при $x\to 0$. То есть второй замечательный предел. А "чудо" всегда можно обозначить новой буквой, чтобы оно не пугало.

[ewert]

KocTuK в сообщении #268169 писал(а):

а вот абсолютная сходимость вызвала затруднение =(

а чего тут затрудняться-то?... Выкиньте тот несчастный синус (но без выкидывания его квадрата, естественно) -- да и дело с концом.

[KocTuK]

Cave, точно) со вторым теперь более-менее ясно. щас попробую это применить)
AD, для интегрального мне кажется функция сложновата, поиск игтеграла от нее будет отдельным вопросом) Дирихле щас попробую..)

-- Сб дек 05, 2009 16:36:38 --

ewert, тебя я не понял) каким образом предлагаешь его тут выкинуть ?)

[ewert]

KocTuK в сообщении #268184 писал(а):

ewert, тебя я не понял) каким образом предлагаешь его тут выкинуть ?)

Предлагаю молча. Чему эквивалентен синус малого аргумента?...

[KocTuK]

понятно, значит первый ответ перефразировал) я думал ты как-то вне предела нашел способ от него избавиться

-- Сб дек 05, 2009 17:15:59 --

всем спс, во втором примере по предельному признаку сравнения получил 1/2 (сравнивал с гармоническим рядом 1/n^3)
щас буду пробовать первый по дирихле..

-- Сб дек 05, 2009 17:32:58 --

а разве признак дирихле позволяет определить абсолютную сходимость? как и по лейбницу вроде можно сказать только что он сходится как минимум условно

[AD]

KocTuK в сообщении #268193 писал(а):

а разве признак дирихле позволяет определить абсолютную сходимость?

Нет. А что?

[KocTuK]

так условно ряд вроде как сходится

[ewert]

какой конкретно ряд-то?... Вы небрежны. Почему бы не сформулировать утверждение -- аккуратно?...

[KocTuK]

$\sum\limits_{n=1}^\infty sin(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}) \frac{tg\frac{n+1}{n^2 + 1}}{ln^2(3n+1)} $
по дирихле за а(n) считаем функцию синуса, она является ограниченной. за b(n) далее идущую дробь tg/ln. функция под тангенсом стремится к нулю, значит tgx~x.
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty}\frac{(n+1)}{(n^2+1)ln(3n+1)} = 0$
имеем предел равный нулю. все условия выполнены, значит наш ряд сходится как минимум условно.

[ewert]

домыслы -- фтопку. Общий член ряда откровенно оценивается по модулю через ${1\over n\,\ln^2n}$, и всё тут. И этого -- достаточно. Хуже того: это -- первое, что должно приходить в голову.

[KocTuK]

точно.. я очень странно поделил дробь и все усложнил) спасибо) свою ошибку в том посте исправил, может кому еще понадобится)