Мат. модель датчика

[Alf2]

Помогите, пожалуйста. С математикой знаком не понаслышке , но давненько не было практики. Подскажите возможные варианты решения следующей задачи (задачу привожу укрупненно).

Есть физический датчик (принципиально не важно какой).
Измеряется информационный показатель $ f_ij $, при тарированных значениях $ p_i$ и $t_j$, где $ i = 0...n$, а $ j = 0...m$ Т.е. имеем некую таблицу (матрицу) значений размерностью $ m * n$ .

Основное условие: на основе полученных значений построить математическую модель, которая бы позволила вычислять значение p при произвольных значениях f, t.

Дополнительные условия:
1. Модель необходимо оптимизировать к решению численным методам, т.к. вся обработка будет производиться микроконтроллером.
2. Подскажите возможность оценки оптимальных значений m, n, при которых будет достигнута необходимая точность измерения, минимизировано количество точек и соответственно время вычисления p.

Я понимаю, что много хочу, но прошу подсказать, хотя бы, направление для мыслей-скакунов, дабы не распыляться понапрасну.

[nworm]

Можно построить (на бумаге) другую таблицу, в которой будет точная зависимость, $p_i$ от $f_{ij}$, $t_j$. Памяти чтобы её хранить нет (это так?), поэтому дальше надо копать в сторону интерполяции/статистики (МНК и т.п.). Цель: получение функции $p_i(f_{ij},t_j)$, удовлетворяющей требованиям.

P.S. А что значит "тарированный"?

[Alf2]

nworm писал(а):

Можно построить (на бумаге) другую таблицу, в которой будет точная зависимость, $p_i$ от $f_{ij}$, $t_j$. Памяти чтобы её хранить нет (это так?),

Спасибо за ответ.
Не совсем так. Предполагается хранить таблицу значений во внешней памяти. Просто требуется уменьшить количество точек, при сохранении требуемой точности. Уменьшение количества точек требуется для уменьшения времени первичного измерения. А микроконтроллет упомянул, чтобы показать, что мат.модель должна быть как можно проще (короче).

nworm писал(а):

поэтому дальше надо копать в сторону интерполяции/статистики (МНК и т.п.).

Это-то и понятно. Вопрос в том какой выбрать метод.

nworm писал(а):

Цель: получение функции $p_i(f_{ij},t_j)$, удовлетворяющей требованиям.

Верно. Сейчас я вижу следующий порядок действий:
1. Проводим цикл измерений $f_{ij}(p_i,t_j)$. Шаг $h(p) и h(t)$ - постоянен.
2. Аппроксимируем для каждого $t_j$ функцию $p_i(f_{ij})$ и вычисляем значения p при постоянном шаге $h(f)$. Или интерполируем значения $p_ik(f_{ikj})$ при постоянном шаге $h(f)$. Где k - означает коррекцию.
3. Таблицей значений описываем функцию $p_ik(f_{ikj}, t_j)$ . Заносим значения в память контроллера.
4. На каждом цикле измерения (рассчетно 100 мс) интерполируем $p(f,t)$. Пока в качестве метода рассматриваем кубическую сплайн-интерполяцию, как дающий наилучшую точность.

Так вот, пп.1-3 производятся с использованием персоналки и временем-вычислительной мощностью, в разумных пределах, не ограничиваемся.

Для пункта 4 требуется компактный, простой метод аппроксимации-интерполяции (что лучше), желательно без аргуметов в знаменателе.

Подскажите, пожалуйста, какими методами лучше всего осуществить поставленную задачу.

nworm писал(а):

P.S. А что значит "тарированный"?

Скорее по привычке использовал - здесь, значения, заданные с требуемой точностью.

Тарирование (от нем. Tarieren), 1) устаревшее название градуировки средств измерений, широко употреблявшееся применительно к приборам для измерения неэлектрических величин. 2) Метод точного взвешивания с использованием тарного груза (дробь, кусочки металла и т. п.). (БСЭ)

или

Тарирование
1. Метод точного взвешивания на рычажных весах с применением для уравновешивания тела тарного груза.
2. Поверка правильности показаний измерительных приборов по контрольным приборам.

[nworm]

Чтобы выбрать оптимальный метод, надо, судя по всему знать, что там за датчик и процесс (согласитесь, одна картинка, когда измеряются довольно случайные характеристики ядерного распада и совсем другая при взвешивании). Про интреполяцию пишут, что она хороша, когда функция аналитическая, а её значения не искажены случайными ошибками. Можно просмотреть теоремы, в которых оцениваются ошибки методов, там всегда есть условия на функции, стоит определить, подпадают ли выдаваемые датчиком данные под условия этих теорем.

Потом, можно, видимо, посмотреть, как обрабатывались похожие датчики, строить свои модели, исходя из уже сделанных в этой области.

[Alf2]

nworm писал(а):

Чтобы выбрать оптимальный метод, надо, судя по всему знать, что там за датчик и процесс (согласитесь, одна картинка, когда измеряются довольно случайные характеристики ядерного распада и совсем другая при взвешивании).

Если Вы согласитесь заочно подумать над этим вопросом я могу описать что и для чего. Это не секрет, просто не хочу загружать излишней информацией. Зависимость информационного и измеряемых параметров по сути может быть описана степенными полиномами. Девиация параметров небольшая и в большей степени зависит от методической погрешности измерения.

nworm писал(а):

Про интреполяцию пишут, что она хороша, когда функция аналитическая, а её значения не искажены случайными ошибками.

Т.е. на конкретных данных, когда аналитическая функция изначально отсутствует, интерполяцию применять нельзя? Или я недопонял Вас? ПРошу простить за явную невежественность, но вопросами практического применения методик не занимался давно, и в большей степени для себя, хочу восстановить ясность в понимании.

nworm писал(а):

Можно просмотреть теоремы, в которых оцениваются ошибки методов, там всегда есть условия на функции, стоит определить, подпадают ли выдаваемые датчиком данные под условия этих теорем.

Это в разделах численных методов или в функциональном анализе? Имя сестрра, имя...

nworm писал(а):

Потом, можно, видимо, посмотреть, как обрабатывались похожие датчики, строить свои модели, исходя из уже сделанных в этой области.

Знамо так, вопрос: где искать. Придется прошерстить книжный магазин и библиотеку.

[nworm]

Alf2 писал(а):

nworm писал(а):

Про интреполяцию пишут, что она хороша, когда функция аналитическая, а её значения не искажены случайными ошибками.

Т.е. на конкретных данных, когда аналитическая функция изначально отсутствует, интерполяцию применять нельзя? Или я недопонял Вас? ПРошу простить за явную невежественность, но вопросами практического применения методик не занимался давно, и в большей степени для себя, хочу восстановить ясность в понимании.

nworm писал(а):

Можно просмотреть теоремы, в которых оцениваются ошибки методов, там всегда есть условия на функции, стоит определить, подпадают ли выдаваемые датчиком данные под условия этих теорем.

Это в разделах численных методов или в функциональном анализе? Имя сестрра, имя...

В численных методах есть довольно много теорем такого вида:
Если $y(x)$ достаточное число раз дифференцируема, то для интерполяционной формулы, базирующейся на $n+1$ значении функции $y_0$, $y_1$, $y_2,\ldots , y_n$, остаточный член (ошибка интерполяции) может быть записан в виде
... (формула с оценкой погрешности).
То есть если функция не является достаточное число раз дифференцируемой и не удовлетворяет условиям теоремы, теорема не гарантирует оценку погрешности
Хотя если функция y(x) полином (я понял, что с датчиком так, отклонения параметров принебрежимо малы), такого наверное не будет и интерполировать разумно.

[Alf2]

Цитата:

В численных методах есть довольно много теорем такого вида:

Огромное спасибо за заботу

Пойдем бодрить склероз...