Целая функция...

[Mystery]

Есть целая функция $f(z)=\int\limits_0^ze^{-t^p}dt$, где p>1.
Понятно, что подынтегральная функция стремится к нулю при $|argz-(2\pi k)/p|\leq\pi/2p,\quad (k=1,... p)$ Встретила такое утверждение, что в этом же углу сама функция стремится соответственно к значению $a_k=e^{2\pi ki/p}\int\limits_0^\infty e^{-t^p}dt,\quad (k=1, 2, ... p)$ при $z\rightarrow\infty$
как объяснение написано, что $f(z)-a_k=-\int\limits_z^{\infty}e^{-t^p}dt $ а вот почему это выполняется хоть убейте не могу понять... (ясно, что $\int\limits_0^ze^{-t^p}dt-e^{2\pi ki/p}\int\limits_0^\infty e^{-t^p}dt=-\int\limits_z^{\infty}e^{-t^p}dt+(1-e^{2\pi ki/p})\int\limits_0^\infty e^{-t^p}dt$ ) или я уже тут ошибаюсь? или из этого как-то следует нужное равенство? хелп...

[ewert]

(Раз функция -- целая, то и $p$ тоже подразумевается целым.)

Будем брать интеграл по лучу $\displaystyle \zeta=r\cdot e^{i\varphi_0},\ r\in[0;\;|z|]$. Сравним его с интегралом по лучу $\displaystyle \zeta=r\cdot e^{2\pi ik/p},\ r\in[0;\;|z|]$. На последнем в пределе при $|z|\to\infty$ получим ровно то, что было обещано. А различаются эти два интеграла на интеграл по дуге окружности $r=|z|,\ \varphi\in\left[{2\pi k\over p};\;\varphi_0\right]$ (или наоборот), на которой функция равномерно и экспоненциально стремится к нулю при $|z|\to\infty$ -- следовательно, стремится к нулю и разница между интегралами по лучам.

[Mystery]

Огромное спасибо! Все ясно!