2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Целая функция...
Сообщение04.12.2009, 00:14 
Есть целая функция $f(z)=\int\limits_0^ze^{-t^p}dt$, где p>1.
Понятно, что подынтегральная функция стремится к нулю при $|argz-(2\pi k)/p|\leq\pi/2p,\quad  (k=1,... p)$ Встретила такое утверждение, что в этом же углу сама функция стремится соответственно к значению $a_k=e^{2\pi ki/p}\int\limits_0^\infty e^{-t^p}dt,\quad (k=1, 2, ... p)$ при $z\rightarrow\infty$
как объяснение написано, что $f(z)-a_k=-\int\limits_z^{\infty}e^{-t^p}dt $ а вот почему это выполняется хоть убейте не могу понять... (ясно, что $\int\limits_0^ze^{-t^p}dt-e^{2\pi ki/p}\int\limits_0^\infty e^{-t^p}dt=-\int\limits_z^{\infty}e^{-t^p}dt+(1-e^{2\pi ki/p})\int\limits_0^\infty e^{-t^p}dt$ ) или я уже тут ошибаюсь? или из этого как-то следует нужное равенство? хелп...

 
 
 
 Re: Целая функция...
Сообщение04.12.2009, 11:47 
(Раз функция -- целая, то и $p$ тоже подразумевается целым.)

Будем брать интеграл по лучу $\displaystyle \zeta=r\cdot e^{i\varphi_0},\ r\in[0;\;|z|]$. Сравним его с интегралом по лучу $\displaystyle \zeta=r\cdot e^{2\pi ik/p},\ r\in[0;\;|z|]$. На последнем в пределе при $|z|\to\infty$ получим ровно то, что было обещано. А различаются эти два интеграла на интеграл по дуге окружности $r=|z|,\ \varphi\in\left[{2\pi k\over p};\;\varphi_0\right]$ (или наоборот), на которой функция равномерно и экспоненциально стремится к нулю при $|z|\to\infty$ -- следовательно, стремится к нулю и разница между интегралами по лучам.

 
 
 
 Re: Целая функция...
Сообщение04.12.2009, 12:15 
Огромное спасибо! Все ясно!

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group