На мой взгляд, в сообщении
ewert'а содержится суть идеи доказательства «гипотезы», так что контрпримера нет.
Насколько я понял, стоит пояснить подробнее. Вот ключевые моменты.
(1) Всякое открытое подмножество
является объединением
некоторого (однозначно определяемого по
) множества
, состоящего из попарно непересекающихся непустых интервалов (ограниченных или неограниченных).
Это
можно еще охарактеризовать как множество непустых компонент связности
(пустое в случае
).
(2) Любые два непустых интервала гомеоморфны.
(3) Если
и
— открытые подмножества
и
, то
и
гомеоморфны.
Действительно, если
— биекция
на
, то семейство гомеоморфизмов
между
и
склеивается в гомеоморфизм
между
и
.
(4) Если замкнутые подмножества
гомеоморфны и
,
, то
.
Это (пожалуй, наименее тривиальное) утверждение можно обосновать, отправляясь от количества компонент (линейной) связности
и
. Если их бесконечно много, то
и
оба бесконечны (и, разумеется, счетны). Если же
и
имеют
компонент связности, то
. Последнее можно доказать, например, индукцией по
(рассмотрев на индукционном шаге разные случаи вида и расположения выкидываемой компоненты связности).
Как-то так. Не исключаю, что есть более простой способ. Это просто первое, что пришло в голову.