Вычислить несобственный интеграл

[Dmitry Nikitenko]

Необходимо вычислить несобственный интеграл, используя значение интеграла Пуассона:

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax ^2}\ch bx dx$, если a > 0

Пробовал интегрировать по частям - не получил ничего хорошего. Товарищи математики, подскажите пожалуйста путь к решению)

[gris]

А он не берётся в элементарных.
Распишите косинус через экспоненту, разбейте на два интеграла, сгруппируйте степени, сделайте замену и сведите к двум Пуассонам

[ewert]

Это -- половина интеграла по всей оси. И -- в силу симметрии -- половина интеграла по всей оси от $e^{-ax^2}e^{bx}$.

[Dmitry Nikitenko]

Спасибо вам огромное, как-то не догадался совсем ))
Если ничего не напутал, то получилось так:
$\int_{0}^{\infty} e ^{-ax ^2}\ch bx dx = \frac12\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax ^2 + bx} dx = \frac12 e^{\frac{b^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty} e ^{-\left(\sqrt{a}x - \frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2} dx = \frac{1}{2\sqrt{a}} e^{\frac{b^2}{4a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t ^2} dt = $ $=\frac12\sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}} $