Обобщенные функции медленного роста, преобразование Фурье

[merlin]

Как показатать что собственными значениями преобразования Фурье (обратного преобразования Фурье) обобщенных функции медленного роста могут быть только 1,-1(i,-i).
Или что только 1,-1(i,-i) кандидаты в собственные значения.
Я думаю так что можно посчитать норму оператора преобразования Фурье обобщенных функции медленного роста. И так как он будет самосопряженным что в спектр будут входить значения, равные +,- норме оператора.
А как доказать что других значений нет? И какую норму использовать?
Или можно это как то сразу доказать?

[ewert]

Я не знаю, что такое "функции медленного роста". Но вот что очевидно. Оператор Фурье -- унитарен в $L_2(\mathbb R)$. Непосредственно проверяется, что его собственными функциями (с указанными собственными значениями) будут полиномы Эрмита, умноженные на соотв. экспоненту. Но полиномы Эрмита, будучи системой ортогональных многочленов (с тем самым экспоненциальным весом) автоматически образуют полную ортогональную систему. И поскольку для унитарных операторов есть спектральная теорема -- никаких других точек спектра у оператора Фурье и быть не может.

Это так, навскидку. Наверное, есть и более сермяжное обоснование, но лень думать.

[Gafield]

Можно попробовать посмотреть, чему равна вторая и четвертая степень оператора.

[ewert]

ага, причём второй достаточно

[merlin]

Обобщенные функции медленного роста - это бесконечно дифференцируемые и $ \lim_{x \to +\infty}x^j f(x)^{(k)}=0$

-- Сб ноя 28, 2009 21:57:11 --

То есть дважды применив Фурье трансформ получим ту же функцию.Четырежды опять же. ТО есть $F^4=I$ и собственные значения будут корни уравнения $a^4=1$ Имеющего соответсвенно корни (+1,1,i,-i)

[Gafield]

merlin в сообщении #266120 писал(а):

Обобщенные функции медленного роста - это бесконечно дифференцируемые и $ \lim_{x \to +\infty}x^j f(x)^{(k)}=0$

Это основные, пространство Шварца.

Цитата:

То есть дважды применив Фурье трансформ получим ту же функцию.

Почти, совсем та же получится при применении во второй раз обратного преобразования.

[ewert]

merlin в сообщении #266120 писал(а):

То есть дважды применив Фурье трансформ получим ту же функцию.

Нет, получим переход от $f(x)$ к $f(-x)$.