задачи по геометрии, 1 курс

[Профессор Снэйп]

vvvv в сообщении #265927 писал(а):

Во-первых, первое уравнение в в первой системе - это не цилиндр, а сфера...

Очевидно, имелось виду вот что. Пусть $(x,y,z)$ --- произвольная точка нашего цилиндра и $(t,t,t)$ --- её прямоугольная проекция на ось цилиндра. Тогда $(x-t)^2 + (y-t)^2 + (z-t)^2 = 1$ (расстояние до оси равно $1$) и $(x-t) + (y-t) + (z-t) = 0$ (вектор $(x-t,y-t,z-t)$ перпендикулярен вектору $(1,1,1)$).

-- Сб ноя 28, 2009 19:29:52 --

Marisha в сообщении #265959 писал(а):

Объясните пожалуйста,а почему мы так расписали второе слагаемое суммы?

Биссектриса делит противолежащую сторону треугольника в том же отношении, в котором относятся прилежащие стороны.

[gris]

Можно и второе равенство получить и вычесть их

$\vec{0}=\vec{BC}\cdot\frac{AB}{AB+AC}+\vec{CA}\cdot\frac{BC}{AB+BC}+\vec{AB}\cdot\frac{AC}{AC+BC}$

$\vec{0}=\vec{BC}\cdot\frac{AC}{AB+AC}+\vec{CA}\cdot\frac{AB}{AB+BC}+\vec{AB}\cdot\frac{BC}{AC+BC}$

$\vec{0}=\vec{BC}\cdot\frac{AB-AC}{AB+AC}+\vec{CA}\cdot\frac{BC-AB}{AB+BC}+\vec{AB}\cdot\frac{AC-BC}{AC+BC}$

И теперь представьте, что какие-то две стороны не равны!

Можно и проще. Если какая-то линейная комбинация ненулевых векторов равна 0, то может ли существовать другая их линейная комбинация равная 0, у которой коэффициенты непропорциональны первой?

[Sasha2]

Да не видно все равно.
Вы ходите вокруг да около.

Вы извините, может быть и я туплю, но вот хоть убей бог НЕ УБЕДИТЕЛЬНЫ Ваши рассуждения.

[gris]

(Оффтоп)

Я сам туплю со страшной силой. Причина есть, хоть и неуважительная. Поэтому возьму-ка самобан до завтра. кароче - ну ладно...

[AKM]

Sasha2 в сообщении #265993 писал(а):

но вот хоть убей бог НЕ УБЕДИТЕЛЬНЫ Ваши рассуждения.

Выбор точки $(t,t,t)$ на оси цилиндра понятен.
Условия $(x-t)^2 + (y-t)^2 + (z-t)^2 = 1$ не достаточно, чтобы восстановить подходящие точки $(x,y,z)$ (там будет много лишних, целая сфера).
А вот с дополнительным ограничением

$$l\cdot(x-t) + m\cdot(y-t) + n\cdot(z-t) = 1\cdot(x-t) + 1\cdot(y-t) + 1\cdot(z-t) = 0$$

мы получаем именно те точки, которые нам нужны.

Надо бы, что ли, подробнее указать, что Вас, Sasha2, не убеждает.

-- Сб ноя 28, 2009 17:22:18 --

Конечно, можно было тупо применить формулу расстояния от точки до (пространственной) прямой. Но её лень вспоминать, и помнится, что что-то громоздкое, типа для этого простого случая [(0,0,0) --- (1,1,1)] проще по новой перевывести.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

gris в сообщении #266000 писал(а):

Причина есть, хоть и неуважительная.

А какая, если не секрет?

-- Сб ноя 28, 2009 20:34:18 --

Sasha2 в сообщении #265993 писал(а):

НЕ УБЕДИТЕЛЬНЫ Ваши рассуждения.

Про цилиндр или про биссектриссу?

[Sasha2]

Мне просто кажется, что рассуждения уважаемого gris основаны на том, что он просто берет на трех сторонах треугольника, сумма которых (в векторном виде, разумеется) отрезки, пропорциональные этим сторонам. И естественно, получая 0, обосновывет этим, что стороны трегольников равны.
Поэтому мне кажется, что у него доказана только равенство нулю суммы отрезков, пропорциональных сторноам треуголника. РАВЕНСТВО ЖЕ ИХ НЕ ПОКАЗАНО.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #265980 писал(а):

Очевидно, имелось виду вот что. Пусть $(x,y,z)$ --- произвольная точка нашего цилиндра и $(t,t,t)$ --- её прямоугольная проекция на ось цилиндра. Тогда $(x-t)^2 + (y-t)^2 + (z-t)^2 = 1$ (расстояние до оси равно $1$) и $(x-t) + (y-t) + (z-t) = 0$ (вектор $(x-t,y-t,z-t)$ перпендикулярен вектору $(1,1,1)$).

Нет, в этом месте имелось в виду нечто гораздо более тривиальное. Нам надо зацепиться хоть за одно сечение, а потом просто протащить его вдоль оси. Наиболее простое сечение -- проходящее через начало координат. Ну так оно очевидно: достаточно пересечь сферу единичного радиуса $\{x^2+y^2+z^2=1\}$ с плоскостью $\{x+y+z=0\}$, проходящей через начало координат и перпендикулярной оси цилиндра.

AKM в сообщении #266003 писал(а):

Конечно, можно было тупо применить формулу расстояния от точки до (пространственной) прямой. Но её лень вспоминать,

gris вроде же указал ту формулу вполне внятно. Никакой жути, вот она: расстояние есть корень квадратный из квадрата длины вектора $\overrightarrow{OM}$ минус квадрат проекции того вектора на прямую $\mathbf{pr}_{\vec v}\overrightarrow{OM}$, где проекция стандартно считается как $\dfrac{\overrightarrow{OM}\cdot\vec v}{|\vec v|}$, а $\vec v=(1;1;1)$ -- это направляющий вектор прямой. Причём корень, естественно, извлекать не нужно, а нужно приравнивать единичке сам квадрат расстояния.

[Marisha]

Уважаемые присутствующие! А что мне делать с 3 задачей? Есть какие-нибудь подсказки?

[neverland]

запишите каноническое уравнение параболы, из него координаты фокуса.

[Профессор Снэйп]

Давайте так. Пусть дан треугольник $ABC$, $\vec{AB} = a$, $\vec{BC} = b$ и $\vec{CA} = c$. Тогда

$$\vec{AA_1} = \frac{\|c\| a - \| a \| c}{\| a \| + \| c \|} $$

$$ \vec{BB_1} = \frac{b \| a \| - a \| b \|}{\| a \| + \| b \|} $$

$$ \vec{CC_1} = \frac{c \| b \| - b \| c \|}{\| b \| + \| c \|} $$

Складывая вектора биссектрис, приводя к общему знаменателю и подобные в числителе, получаем... н-да, объём работы неимоверно велик!!! Но, по идее, полученное равенство вместе с равенством $a + b + c = 0$ даст нужный результат.

Хотя нет, для суммы биссектрисс достаточно посчитать коэффициент при одном из векторов, а далее всё циклично... Я прикинул, у меня получилось (знаменатель не пишу, так как дробь всё равно к нулю приравниваем)

$$ \| a \| (\| c \|^2 - \| b \|^2) a + \| b \| (\| a \|^2 - \| c \|^2) b + \| c \| (\| b \|^2 - \| a \|^2) c = 0 $$

Отсюда сразу выводится (так как ранг системы векторов $\{ a,b,c \}$ равен двум и все линейные зависимости пропорциональны)

$$ \| a \| (\| c \|^2 - \| b \|^2) = \| b \| (\| a \|^2 - \| c \|^2) = \| c \| (\| b \|^2 - \| a \|^2) $$

и $\| a \| = \| b \| = \| c \|$, что и требуется.

-- Сб ноя 28, 2009 21:08:36 --

Marisha в сообщении #266019 писал(а):

Уважаемые присутствующие! А что мне делать с 3 задачей? Есть какие-нибудь подсказки?

Я ведь уже писал! Все параболы подобны, преобразование подобия переводит фокус в фокус, так что достаточно найти фокус у параболы $y=x^2$.

[ewert]

Marisha в сообщении #266019 писал(а):

Уважаемые присутствующие! А что мне делать с 3 задачей? Есть какие-нибудь подсказки?

Да Вам уж подсказывали, ну ещё разок. Сдвиньте координаты так, чтобы в новых уравнение приняло канонический вид: $\widetilde x^2=2p\cdot\widetilde y$. Тогда в новых координатах фокусом будет, как известно, точка с координатами $(0;{p\over2})$.

-- Сб ноя 28, 2009 19:14:46 --

Профессор Снэйп в сообщении #266025 писал(а):

Давайте так.

а зачем давать -- из спортивного интересу, что ли?... по-моему так мой вариант гораздо осмысленнее

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #266028 писал(а):

а зачем давать -- из спортивного интересу, что ли?... по-моему так мой вариант гораздо осмысленнее

А я подумал, что я Ваш вариант и излагаю Вот что значит читать по диагонали!

-- Сб ноя 28, 2009 21:35:17 --

По вашему варианту, наверное, так:

$$ \vec{AA}_1 = a + \frac{\|a\| b}{\| a \| + \| c \|} $$

$$ \vec{BB}_1 = b + \frac{\|b\| c}{\| b \| + \| a \|} $$

$$ \vec{CC}_1 = c + \frac{\|c\| a}{\| c \| + \| b \|} $$

Отсюда сразу

$$ \frac{\|a\|}{\| a \| + \| c \|} = \frac{\|b\|}{\| b \| + \| a \|} = \frac{\|c\|}{\| c \| + \| b \|} $$

и $\| a \| = \| b \| = \| c\|$. Да, выкладок гораздо меньше!

[Marisha]

у=$ах^2+bх+с$
$ax^2=bx+c-y$
1/2р=а
р=1/2а
р/2=1/4а,
тогда координаты фокуса (0, 1/4а)?

-- Сб ноя 28, 2009 21:42:01 --

А что значит "двойной модуль", например ||a||?

[Профессор Снэйп]

Marisha в сообщении #266040 писал(а):

тогда координаты фокуса (0, 1/4а)?

У Вас что, фокус произвольной параболы лежит на оси ординат?

Marisha в сообщении #266040 писал(а):

А что значит "двойной модуль", например ||a||?

Норма, то есть длина вектора $a$.