задачи по геометрии, 1 курс

[Marisha]

Вопрос по 2 задаче... Я же могу выразить из этих самых соотношений длины частей сторон, на которые опираютс биссектрисы?

[vvvv]

ewert в сообщении #265934 писал(а):

Параметрически -- это вот как. Сначала -- сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через начало координат:

Но, все-таки, где же уравнение цилиндра? Думаю, модераторы нас простят, если оно будет приведено здесь. Девушка -то, навряд ли сама его одолеет

[Marisha]

Да, одолеть мне его вряд ли удастся так легко))) с вашей помощью я математику начинаю все же понимать!

[ewert]

vvvv в сообщении #265936 писал(а):

Но, все-таки, где же уравнение цилиндра? Думаю, модераторы нас простят,

Не буди лихо, пока оно тихо. А уравнение -- в одном из недавних сообщений приведено (но тоже не в окончательном, т.е. не в стандартном, виде).

[Marisha]

И все же, как мне связать задачу с биссектрисами с тем, что треугольник правильный?

[Sasha2]

Ну и что, вот во второй, получили
$\vec{BA_1}+\vec{CB_1}+\vec{AC_1}=\vec{0}$
и
$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{AB}{AC}$
и еще две аналогичные пропорции.
И что теперь с этими огрызками делать.
Не видно абсолютно, что стороны треуголника будут равны.

[Marisha]

Спасибо огромное! Конечно видно!)))

[Sasha2]

Да где же видно то?

[Marisha]

Дааааа........

-- Сб ноя 28, 2009 18:03:52 --

Может следует теперь как-то сравнить полученные соотношения и что-то там увидеть?

[gris]

$\vec{AA_1}=\vec{AB}+\vec{BA_1}=\vec{AB}+\vec{BC}\cdot\frac{|AB|}{|AB|+|CA|}$

То же самое для остальных биссектрис с учёиом ориентации!
Сложим - получим 0.

[Marisha]

Объясните пожалуйста,а почему мы так расписали второе слагаемое суммы? Мы ведь писали для него соотношения биссектрис, а подставляем другое... Или все верно с подставлением, просто я не допоняла как это сделали?

[ewert]

Не надо соотношений.

Расположите треугольник так, чтобы одна из биссектрис проходила вертикально -- например, $\overrightarrow{AA_1}$. Пусть $M$ -- точка пересечения биссектрис. Тогда $\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC_1})+(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB_1})=\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{CB_1}$. Из последней пары векторов первый направлен вдоль $\overrightarrow{BA}$, второй -- вдоль $\overrightarrow{CA}$. Если теперь $|\overrightarrow{BA}|\neq|\overrightarrow{CA}|$, то, очевидно, и $|\overrightarrow{BC_1}|\neq|\overrightarrow{CB_1}|$. А поскольку эти векторы наклонены под одинаковыми углами к вертикали -- их сумма не вертикальна (и не равна нулю). Следовательно, $\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}$ в сумме с $\overrightarrow{AA_1}$ не может дать ноль.

Вывод: если длины в хоть одной паре сторон не совпадают, то сумма биссектрис не может равняться нулю.

[gris]

Для биссектрисы $\vec{AA_1}$

$\dfrac{|BA_1|}{|A_1C|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}$, то есть

$\dfrac{|BA_1|}{|AB|}=\dfrac{|A_1C|}{|AC|}$, то есть

$|A_1C|=\dfrac{|BA_1||AC|}{|AB|}$

$|BA_1|+|A_1C|=|BC|$, то есть

$|BA_1|+\dfrac{|BA_1||AC|}{|AB|}=|BC|$, то есть

$|BA_1||AB|+|BA_1||AC|=|BC||AB|$, то есть

$|BA_1||AB|+|BA_1||AC|=\dfrac{|BC||AB|}{|AB|+|AC|}$, то есть

$\vec{BA_1}=\vec{BC}\dfrac{|BA_1|}{|BC|}=\vec{BC}\dfrac{|AB|}{|AB|+|AC|}$

Ну вот... В песочницу пришёл большой мальчик и растоптал куличики.
А я знаю, как геоиетрически очень просто решить, но не скажу. Вотъ.
Короче, надо этот треугольник продолжить во все стороны.

Поправил коэффициент

[ewert]

gris в сообщении #265963 писал(а):

Короче, надо этот треугольник продолжить во все стороны.

Это как? Биссектрисы же будут меняться непредсказуемым образом, как ни продолжай.

[Sasha2]

To gris, все равно еще непонятно.
Нет эти пропорции я получить могу
И кстати у Вас там в одном месте $BA_1$, а в другом $B_1A$.
Это опечптка или намеренно?


Пожалуйста, поясните по человечески ДО КОНЦА

Ну вот записали

$\vec{AA_1}=\vec{AB}+\vec{BC}\cdot\frac{AB}{AB+AC}$
$\vec{BB_1}=\vec{BC}+\vec{AC}\cdot\frac{BC}{AB+BC}$
$\vec{CC_1}=\vec{AC}+\vec{AB}\cdot\frac{AC}{AC+BC}$

Ну сложили и получили
$\vec{0}=\vec{BC}\cdot\frac{AB}{AB+AC}+\vec{AC}\cdot\frac{BC}{AB+BC}+\vec{AB}\cdot\frac{AC}{AC+BC}$

Ну и где тут видно, что СТОРОНЫ РАВНЫ?
Может что-то другое складывать надо?