Эллипс от эллипса

[IFRIT]

Может слишком простой вопрос..
Как рисовать эллипс из школьного курса знают почти все - два гвоздика и нитка. Представим, что мы нарисовали эллипс. Затем требуется нарисовать новую кривую, используя получившийся эллипс в качестве некой жесткой конструкции, на которую был накинут ремешок.. Не знаю, как объяснить понятнее.. т.е. надо найти геометрическое место точек, сумма длин касательных к эллипсу + некоторая часть периметра эллипса постоянна.

Задачу необходимо решить без дифференцирования и прочих прелестей жизни..

Утверждается, что в итоге получится тоже эллипс, да при этом с теми же фокусами..

Заранее спасибо.

PS: первый курс, ангем

[AD]

То есть множество точек, находящихся на данном расстоянии от эллипса "снаружи" него?

-- Сб ноя 28, 2009 00:42:06 --

IFRIT в сообщении #265834 писал(а):

Утверждается, что в итоге получится тоже эллипс, да при этом с теми же фокусами..

Ну тогда, наверное, надо как раз и проверять, что сумма расстояний до известных фокусов будет одинаковой (хотя и больше, чем раньше), да? Это так, пытаюсь понять, где Вы остановились.

[IFRIT]

Да, всё верно - "снаружи" и "больше"))
ну или равен.. в предельном случае, когда длина ремешка совпадает с периметром эллипса получаем тот же самый эллипс, у которого ясно дело и фокусы те же.. но это я так, соображения высказываю. В идеале надо бы научиться получать уравнение этой новой кривой. Еще можно попробовать расмотреть случай "длинного ремешка". Тогда его длина быдет складываться из длин касательных и половины периметра (она постоянно входит), а маленькими дополнительными кусочками можно пренебречь.. но вот для ремня соизмеримого с периметром.. Это собсно и есть задача)

[Алексей К.]

IFRIT в сообщении #265834 писал(а):

Может слишком простой вопрос...
PS: первый курс, ангем

Ежели это "первый курс", а не задача из жизни, то почему нет более точной формулировки? Т.е., видимо, не из задчника. А со слов преподавателя записать не удалось.

Мы поместили эллипс внутрь замкнутой нити-петли. Взявшись за нить пальчиками, натягиваем нить. Найти геометрическое место положений пальчиков.
Так?

Возьмём эллипс, вырождающийся в отрезок. Ну да, полученная кривая-ГМТ --- эллипс с теми же фокусами, что были у отрезка. Как и в случае окружностти.

Или мы ищем ГМТ, чтобы сумма длин касательных была постоянна?

Пока типа уточнял условие.

Цитата:

Задачу необходимо решить без дифференцирования и прочих прелестей жизни..

Хе-хе... Как бы нам на эллиптические интегралы не нарваться, в одной из постановок.

[Юстас]

Было уже, смотрите тут. Идея в том, чтобы аппроксимировать эллипс замкнутой ломаной.

[IFRIT]

Благодарю. Не думал найти эту задачку в разделе олимпиад..)

[Dimoniada]

См. "Геометрические свойства кривых второго порядка" (А.В.Акопян, А.А.Заславский), теорема 1.6