Полнота метрического пространства

[Jerich]

Является ли пространтсво $(-\Pi/2,\Pi/2)$ с метрикой $d(x,y)=|tgx-tgy|$ полным?
На любом компакте из $(-\Pi/2,\Pi/2)$ является очевидно ($|tgx-tgy|=c|x-y|$, $с$ ограниченна). Поэтому достаточно рассмотреть например в точке $\Pi/2$. Рассмотрим последовательность $x_n$, стремящуюся к $\Pi/2$ в обычной метрике на прямой
$|tg(x_n)-tg(x_m)|=|sin(x_n-x_m)/(cos(x_n)*cos(x_m))|~|(x_n-x_m)/((\Pi/2-x_n)(\Pi/2-x_m))|=\{\Pi/2-x_n:=a_n\}=|(a_n-a_m)/(a_n*a_m)|\rightarrow 0$
То есть нужно либо подобрать такую последовательность, и тогда получим что пространства неполное, либо доказать что такой последовательности фундаментальной не существует.

У меня пока не получается, может кто подскажет?

[ewert]

Позволю себе маленько сжульничать (хотя и так всё вроде очевидно).

Интерпретируйте отрезок $(-{\pi\over2};{\pi\over2})$ для начала как единичную полуокружность с естественной параметризацией, определяемой длинами дуг.

И установите естественную биекцию между этой полуокружностью и прямой, касательной к полуокружности справа (с помощью лучей, выходящих из центра).

Так вот. Метрика на предложенном Вам пространстве -- это ровно та метрика на полуокружности, которая индуцируется естественной метрикой на той самой прямой.

Прямая относительно естественной метрики -- как известно, полна; соответственно...

-----------------------------------------------------------------
(сильно подозреваю, что именно эта логика составителями задачи и подразумевалась)

[Jerich]

Спасибо!