помогите решить дифур!

[Buldozer]

Всем доброго времени суток.
Возникла следующая задача:

$$Ur=\mu\left(\frac{U'_{\Pi}+1}{\mu b}\right)^{\frac{b}{b-1}}-\left(\frac{U'_{\Pi}+1}{\mu b}\right)^{\frac{1}{b-1}}+U'_{\Pi}\left(\Pi\left(r-\frac{1}{2}\frac{U'_{\Pi}}{\Pi U''_{\Pi\Pi}}\frac{(\alpha-r)^2}{\sigma^2}\right)-\left(\frac{U'_{\Pi}+1}{\mu b}\right)^{\frac{1}{b-1}}\right)$$

Есть дополнительное условие
$\left.U'_{\Pi}\right|_{\Pi=0}=-1$.


Остальные - менее принципиальны.

Основная проблема в том, что дроби
$\left(\dfrac{U'_{\Pi}+1}{\mu b}\right)^{\dfrac{1}{b-1}}$ (1) и
$-\dfrac{U'_{\Pi}}{\Pi U''_{\Pi\Pi}}$ (2)"мешают" друг-другу.

Как нетрудно проверить, для того, чтобы дробь (2) была
равна некоей константе, скажем, $\dfrac{1}{s-1}$, (соответственно,
$s\ne1$),необходимо и достаточно, чтобы $U(\Pi)$ имела вид
$U(\Pi)=\dfrac{A}{s}{\Pi}^s+B$, где $A$, $B$ -некоторые константы.
Учитывая условие $\left.U'_{\Pi}\right|_{\Pi=0}=-1$, $B=-1$.

Подставив это выражение в систему, получим:

$$\left(\dfrac{A}{s}{\Pi}^s-1\right)r=\mu c^b-c+A\Pi^{s-1}\left(\Pi\left(r-\dfrac{1}{2}\dfrac{(\alpha-r)^2}{\sigma^2(s-1)}\right)-c\right)$$

Дабы дробь (1) выражалась "просто" (в форме константы),
необходимо потребовать $s=1$, но это противоречит более раннему
ограничению.

\noindent С другой стороны, если взять $U(\Pi)=A\Pi^s-\Pi$, то
$c=\left(\dfrac{As{\Pi}^{s-1}}{\mu b}\right)^{\frac{1}{b-1}}$,
если взять $s=b$, то $c=\left(\dfrac{A}{\mu }\right)^{\frac{1}{b-1}}\Pi$, но в таком случае
$\dfrac{U'_{\Pi}}{\Pi U''_{\Pi\Pi}}=\dfrac{Ab{\Pi}^{b-1}-1}{Ab(b-1){\Pi}^{b-1}}=\dfrac{1}{1-b}-\dfrac{1}{Ab(b-1){\Pi}^{b-1}}$
и основное дифференциальное уравнение принимает вид

$$(A{\Pi}^b-\Pi)r=\mu\left(\dfrac{A}{\mu }\right)^{\frac{b}{b-1}}{\Pi}^b -\left(\dfrac{A}{\mu }\right)^{\frac{1}{b-1}}\Pi+(Ab(b-1){\Pi}^{b-1}-1)\left(\Pi\left(r-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-b}-\dfrac{1}{Ab(b-1){\Pi}^{b-1}}\right) \frac{(\alpha-r)^2}{\sigma^2}\right)\right.-\\$$

$$\left.-\left(\dfrac{U'_{\Pi}+1}{\mu b}\right)^{\dfrac{1}{b-1}}\right),$$

что не убирает нелинейность.

Если кто-нибудь каким-нибудь чудом узрел в этих формулах некий известный тип уравнений, то, пожалуйста, напишите название этого типа. (Если кто-то каким-то чудом ещё и знает книгу, в которой данный метод разобран, и выложит хотя бы её название, авторов, год издания и издательство, то буду премного благодарен! )

[V.V.]

Для начала я бы переписал уравнение в виде

$\frac{(U_{\Pi}')^2}{U''_{\Pi\Pi}}\frac{(\alpha-r)^2}{2\sigma^2}=\mu(1-b)\left(\frac{U_{\Pi}'+1}{\mu b}\right)^{\frac{b}{b-1}}+r(\Pi U_{\Pi}'-U)$.

А потом бы пожалел, что в первом слагаемом правой части в исходной форме не было множителя $b$, потому как если бы такой множитель был, то заменой $\Pi=e^t$ уравнение сводилось бы к автономному. И, соответственно, при желании можно было бы стандартным способом понизить его порядок.

[Buldozer]

Позвольте, а куда делась дробь в степени 1/(b-1)?

[V.V.]

Buldozer в сообщении #265502 писал(а):

Позвольте, а куда делась дробь в степени 1/(b-1)?

Ну, как! Я взял второе слагаемое и последнее слагаемое в скобке. Как раз получится $U'_\Pi+1$ за скобкой. А степени складываются: $1/(b-1)+1=b/(b-1)$.