все идеалы в конечном кольце из 32 целых чисел Z32

[Ven0m104]

Нужно показать все идеалы в конечном кольце из 32 целых чисел Z32.
Мне в определенной мере понятно, что это будут подкольца 0Z, 2Z, 4Z, 8Z, 16Z, и само кольцо.
Я вижу, что они делят 32, но не очень понятно, как можно показать что именно они будут идеалами кольца.
Практически только начал изучение теории групп.
Заранее спасибо.

[Бодигрим]

Я не специалист в теории идеалов, но если я не ошибаюсь, то:

Идеалы $\mathbb{Z}_{32}$ обязаны быть его аддитивными подгруппами, т. е. иметь вид $n\mathbb{Z}_{32}$. В данном случае это условие является и достаточным для того, чтобы подгруппа была идеалом. Остается показать, что любая такая подгруппа совпадает с одной из перечисленных вами. Например, $3\mathbb{Z}_{32}=\mathbb{Z}_{32}$, $6\mathbb{Z}_{32}=2\mathbb{Z}_{32}$.

Теория групп тут практически не при чем. Теория идеалов - тоже. Все сводится к теории чисел.

[Ven0m104]

Бодигрим в сообщении #254998 писал(а):

Остается показать, что любая такая подгруппа совпадает с одной из перечисленных вами.

Может быть, тогда будет достаточно сказать, что элементы идеала должны иметь общий делитель с 32, не меньший чем наименьший ненулевой элемент идеала, от которого образован сам идеал.
Поправьте, если не так.

[Профессор Снэйп]

Ven0m104 в сообщении #255181 писал(а):

Может быть, тогда будет достаточно сказать, что элементы идеала должны иметь общий делитель с 32, не меньший чем наименьший ненулевой элемент идеала, от которого образован сам идеал.
Поправьте, если не так.

Ага, именно так. За единственным исключением: нулевой идеал --- это тоже идеал

Ven0m104 в сообщении #253862 писал(а):

...это будут подкольца 0Z, 2Z, 4Z, 8Z, 16Z, и само кольцо.

Опечатки. Кольца $2\mathbb{Z}$, $4\mathbb{Z}$ и им подобные не являются подкольцами в $\mathbb{Z}_{32}$. Запись $2\mathbb{Z}_{32}$ и т. п. выглядит более корректно.

[bot]

Цитата:

Может быть, тогда будет достаточно сказать, что элементы идеала должны иметь общий делитель с 32

Верно. И следовательно ...

А вторую часть фразы не понимаю.
"от которого образован сам идеал" - это то $n$, что в идеале $n\mathbb Z?$.
Тогда посмотрите на два последних равенства у Бодигрима
Не находите, что в этих примерах всё наоборот?

[Ven0m104]

bot в сообщении #255276 писал(а):

Цитата:

Может быть, тогда будет достаточно сказать, что элементы идеала должны иметь общий делитель с 32

Верно. И следовательно ...

А вторую часть фразы не понимаю.
"от которого образован сам идеал" - это то $n$, что в идеале $n\mathbb Z?$.
Тогда посмотрите на два последних равенства у Бодигрима
Не находите, что в этих примерах всё наоборот?

Кажется, выше было опущено такое рассуждение:
Пусть I - идеал, тогда наименьший элемент идеала, не считая нуля, будет оставаться в идеале, если его умножить на любой из Z32.
Тоесть этот наименьший ненулевой элемент образует идеал(главный).
мне не очень ясно, в чем противоречие.

[Ven0m104]

Похоже я все таки еще не исчерпал вопросы по теме. Всё выше сказанное не дает ответа на вопрос, как же показать, что кроме названных идеалов, других действительно нет, т.е. как указал Бодигрим :
$3\mathbb{Z}_{32}=\mathbb{Z}_{32}$ и т.д.
Нужно, наверное, рассмотреть случай с нечетными числами, при умножении на которые исходного кольца мы получаем все возможные элементы из
$\mathbb{Z}_{32}$. Дальше по анологии для чисел, у которых НОД с 32 больше.
Не очень понятно, как это показать.

[VAL]

Ven0m104 в сообщении #264060 писал(а):

Похоже я все таки еще не исчерпал вопросы по теме. Всё выше сказанное не дает ответа на вопрос, как же показать, что кроме названных идеалов, других действительно нет

Вам ведь Бодигрим уже ответил (см. самый первый ответ по теме). Идеал любого кольца является его аддитивной подгруппой.
По сложению кольцо $\mathbb Z_{32}$ является циклической группой. А в циклической группе конечного порядка подгруппы в точности соответствуют делителям порядка группы.

Правда, если доказывать этот факт, там, как раз, и возникнут примерно те рассуждения, о которых Вы пишете. Но, как правило, к тому моменту, когда изучают теорию колец, строение конечной циклической группы уже известно. Или у вас иначе?

[Ven0m104]

VAL в сообщении #265369 писал(а):

Но, как правило, к тому моменту, когда изучают теорию колец, строение конечной циклической группы уже известно. Или у вас иначе?

Ну, может быть, да. И вопрос, кстати, еще актуален для меня. Может можно как то перебрать элементы и показать, что во всех случаях с
НОД(а,32)=1 мы в конце концов получим всё кольцо?

[VAL]

Ven0m104 в сообщении #265764 писал(а):

И вопрос, кстати, еще актуален для меня. Может можно как то перебрать элементы и показать, что во всех случаях с НОД(а,32)=1 мы в конце концов получим всё кольцо?

Можно и не перебирать все элементы. Достаточно воспользоваться тем, что $(a,b)=1 \Leftrightarrow 1 = ax+by$, для некоторых целых $x$ и $y$.