найти сверточные степени функции

[Denisia]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу.
Вычислить сверточные степени $(f^*)^n$ для функции

$$f(x)=\begin{cases} 1,\; x\in[-1,1],\\ 0,\; x \notin[-1,1]. \end{cases}$$

Каков носитель функции $(f^*)^n=\underbrace{f\ast f\ast\ldots\ast f}_{n}$?
Решала, используя определение свертки $(f*f)(x)=\int\limits_{R}f(x-y)f(y)dy.$
Т.к.

$$f(x-y)=\begin{cases} 1,\;x-1\le y\le x+1,\\ 0 ,\;y\notin[x-1,x+1]. \end{cases},$$

то получилось

$$(f*f)(x)=\begin{cases} 2+x,\;-2\le x<0,\\ 2-x,\;0\le x\le2,\\ 0\;\mbox{иначе}. \end{cases}$$

Аналогично для

$$(f*f*f)(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}(x+3)^2,\;-3\le x<-1,\\ 3-x^2,\;-1\le x<1,\\ \dfrac{1}{2}(x-3)^2,\;1\le x<3\\ 0\;\mbox{иначе}. \end{cases}$$

Вообще получается, что носитель $n$-кратной свертки $[-n,n]$, или я ошибаюсь?
Не могу увидеть закономерность, чтобы вывести общую формулу. Решаются ли подобные задачи таким образом или есть более эффективный метод решения?

[Gafield]

Цитата:

Вообще получается, что носитель $n$-кратной свертки $[-n,n]$, или я ошибаюсь?

Да.

Цитата:

Не могу увидеть закономерность, чтобы вывести общую формулу.

Функцию $f$ можно представить в виде $\frac{1}{2} (\text{sgn}(1-t)+\text{sgn}(1+t))$.
Вот несколько первых значений, посчитанных на компьютере. Надеюсь, здесь закономерность видна
$\frac{1}{2} (\text{sgn}(1-t)+\text{sgn}(t+1)), $
$ \frac{1}{4} (t \text{sgn}(t-2)-2 \text{sgn}(t-2)-2 t \text{sgn}(t)+t \text{sgn}(t+2)+2 \text{sgn}(t+2)), $
$ \frac{1}{16} \left((t-3)^2 (-\text{sgn}(t-3))+3 (t-1)^2 \text{sgn}(t-1)-3 (t+1)^2 \text{sgn}(t+1)+(t+3)^2 \text{sgn}(t+3)\right), $
$ \frac{1}{96} \left(6 t^3 \text{sgn}(t)+(t-4)^3 \text{sgn}(t-4)-4 (t-2)^3 \text{sgn}(t-2)-4 (t+2)^3 \text{sgn}(t+2)+(t+4)^3 \text{sgn}(t+4)\right), $
$ \frac{1}{768} \left((t-5)^4 (-\text{sgn}(t-5))+5 (t-3)^4 \text{sgn}(t-3)-10 (t-1)^4 \text{sgn}(t-1)+10 (t+1)^4 \text{sgn}(t+1)-5 (t+3)^4 \text{sgn}(t+3)+(t+5)^4 \text{sgn}(t+5)\right) $

[ИСН]

А преобразование Фурье на что? Но вообще-то чуда не произойдёт: ответом так и будет бяка, составленная из кусочков полиномов (а кусочков чем дальше, тем больше, и то же самое с их степенью).

[Gafield]

Цитата:

А преобразование Фурье на что?

C помощью него я и считал А ответом, да, будут сплайны со стыковкой производных до порядка $n-2$, так что преобразование не особо помогает.

-- Пн ноя 23, 2009 23:16:12 --

Зы Хотя если в интеграл ввести параметр, продифференцировать его $n$ раз и сделать обратное преобразование... Можно довести до ответа.

[--mS--]

Общую формулу плотности суммы $n$ независимых и равномерно распределенных на отрезке $[-b,\,b]$ случайных величин (равную $n$-кратной свертке их плотностей) можно найти (с док-вом) в учебнике В.Феллера (Введение в теорию вероятностей и её приложения, 2-й том, гл.1, параграф 9, теоремы 1 и 1а).

$$ u_n(x+nb) = \dfrac{1}{(2b)^n(n-1)!} \sum_{k=0}^n (-1)^k C_n^k \bigl(x+(n-2k)b\bigr)^{n-1}\cdot I\bigl(x+(n-2k)b>0\bigr). $$

Функция из условия вдвое больше плотности равномерного распределения на $[-1,\,1]$. Соответственно, появится (и сократится) множитель $2^n$ у $n$-кратной свёртки.

[Denisia]

Большое спасибо, разобралась