Доказать отсутствие связи между вектором и скаляром

[Finarfin]

Товарищи, помогите решить "задачу о постановке задачи", которую я вывел, абстрагируясь от своих технических поисков

Есть черный ящик – некий технический объект. Есть входное воздействие – ска-лярное величина P и выходная величина – n-мерный вектор M.
Возможна ли постановка задачи о доказательстве отсутствия корреляции между вектором M и величиной P?
Или же возможна только лишь постановка задачи об отсутствии корреляции между отдельными параметрами вектора M и величиной P?Причем под "параметрами вектора" я подразумеваю все возможные численные характеристики, которые можно вычислить из этого вектора. Это не только его компоненты, модуль, углы с осями n-мерного пространства, но и все, что можно вычислить, составив алгебраическое выражение из его компонентов.
Поскольку параметров вектора в таком случае может быть бесконечное множество, интересно, возможно ли поставить задачу о доказательстве отсутствия корреляции между вектором M и величиной P. Отсюда следовало бы, что бесполезно искать корреляцию между параметрами вектора M с величиной P, чем удалось бы закрыть одно из на-правлений поисков.

[LynxGAV]

Это только мне показалась задача о постановке задачи больно расплывчатой? Кстати, читая Ваше сообщение у меня проскользнула только одна мысль: связь между скаляром и вектором имеется - оба тензоры.

[nestoklon]

Формулировка абсолютно ненормальная. Однако, сделать из вектора скаляр инвариантным образом можно одним способом -- взять его длину. Только непонятно, почему вы решили что величина $P$ скаляр. Может, она псевдоскаляр...

[Евгений Машеров]

Инвертировать задачу. Искать связь между вектором на входе и скаляром на выходе. Использовать множественную регрессию, а в качестве критерия - коэффициент множественной корреляции или F-отношение.
Опасность приёма обусловлена тем, что причинные связи - в другую сторону. Но, как индикатор наличия какой-то связи - может сработать.

[terminator-II]

Вопрос вполне адекватный, несмотря на серию глупых комментариев. Действительно, есть набор скаляров $\{a_k\}$ и набор векторов $\{\overline{b}_k\}$. Как понять, может они связаны соотношением $ \overline{b}_k=a_k\overline{w}$, где
$\overline{w}$ -- некоторый вектор.
Читаем про кореляционную теорию случайных величин у Тутубалина Теория вероятнстей и случайных процессов

[Henrylee]

Что касается неазвисимости между случайным вектором $P$ и случайной величиной $M$, то это понятие вполне четко определено. Оттуда, кстати, будет следовать независимость $M$ от разных "параметров", а именно, борелевских функций от $P$.

[Finarfin]

Henrylee в сообщении #265029 писал(а):

Что касается неазвисимости между случайным вектором $P$ и случайной величиной $M$, то это понятие вполне четко определено.

Каково это четкое определение?

[Henrylee]

Finarfin в сообщении #265066 писал(а):

Henrylee в сообщении #265029 писал(а):

Что касается неазвисимости между случайным вектором $P$ и случайной величиной $M$, то это понятие вполне четко определено.

Каково это четкое определение?

Независимость порожденных ими $\sigma$-алгебр.

[Padawan]

Хоть это уже и не актуально, но скажу, что независимость скаляра и вектора равносильна независимости скаляра от любой компоненты этого вектора. Так как вектор однозначно ими определяется. Это правильное рассуждение? (в теории вероятности не силён)

[PAV]

Padawan в сообщении #289455 писал(а):

Хоть это уже и не актуально, но скажу, что независимость скаляра и вектора равносильна независимости скаляра от любой компоненты этого вектора. Так как вектор однозначно ими определяется. Это правильное рассуждение? (в теории вероятности не силён)

Нет, неправильное. Один из стандартных учебных примеров в курсах теории вероятностей - три случайные величины, независимые попарно, но зависимые в совокупности.

[VPro]

Finarfin в сообщении #261971 писал(а):

Товарищи, помогите решить "задачу о постановке задачи", которую я вывел, абстрагируясь от своих технических поисков

Есть черный ящик – некий технический объект. Есть входное воздействие – ска-лярное величина P и выходная величина – n-мерный вектор M.
Возможна ли постановка задачи о доказательстве отсутствия корреляции между вектором M и величиной P?
Или же возможна только лишь постановка задачи об отсутствии корреляции между отдельными параметрами вектора M и величиной P?Причем под "параметрами вектора" я подразумеваю все возможные численные характеристики, которые можно вычислить из этого вектора. Это не только его компоненты, модуль, углы с осями n-мерного пространства, но и все, что можно вычислить, составив алгебраическое выражение из его компонентов.
Поскольку параметров вектора в таком случае может быть бесконечное множество, интересно, возможно ли поставить задачу о доказательстве отсутствия корреляции между вектором M и величиной P. Отсюда следовало бы, что бесполезно искать корреляцию между параметрами вектора M с величиной P, чем удалось бы закрыть одно из на-правлений поисков.

Вы пишите о черном ящике. Черный ящик --- это как раз модель того, что входы и выходы связаны между собой, мы просто не знаем как. Значит Ваш вопрос о том, является ли модель черным ящиком, или входы и выходы работают по принципу "в Киеве бузина, в огородк дядька"?
Ответить на этот вопрос просто. Пусть, для простоты, $P$ и $M$ не зависят от времени.
1. Детерминированная зависимость. Если на одно и тоже значение $P$ объект выдает одно и то же значение вектора $M$, то тем самым установлено наличие функциональной зависимости $M=M(P)$.
Если же всякий раз на одно и тоже значение $P$ получаем различные векторы $M$, то либо связи никакой нет, либо связь стохастическая.

2. Стохастическая зависимость (регресия). Пусть теперь на выход влияет случайная ошибка, распределенная по некоторому закону. Для каждого значения $P$ (с каким либо шагом) измеряем случайные реализации вектора $M$. Далее --- стандартный регрессионный анализ. Конечно, здесь сделать однозначный вывод о наличии зависимости сложнее. Но, если коэффициенты корреляции для каждой компоненты вектора $M$ близки к 0, то зависимости никакой нет или она очень хитрая.

[Finarfin]

VPro в сообщении #289475 писал(а):

Finarfin в сообщении #261971 писал(а):

Но, если коэффициенты корреляции для каждой компоненты вектора $M$ близки к 0, то зависимости никакой нет или она очень хитрая.

Именно! Причем "хитрая" можно конкретизировать до "нелинейная".
Множественный коэффициент корреляции характеризует, насколько случайную величину (в нашем случае P) можно объяснить с помощью линейной комбинации нескольких независимых случайных величин
[Тутубалин В. Н. Теория вероятностей и случайных процессов, стр. 150].
То есть если у меня например, не линейная комбинация, а произведение, то я могу выкрутиться переходом к логарифмическим координатам, а если формулы, находящиеся в черном ящике (см. картинку) занимают лист формата А3, то всё становится еще круче

В моей сугубо прикладной задаче (с паяльником в зубах ) я показал, что из М удается вытащить несколько параметров, не поддающихся измерению (на рисунке - красные), но оставшиеся параметры настолько сильно влияют на М и путают всю картину, что требуемой точности добиться не удасться...

[VPro]

Если "входная" величина $P$ Вам не известна, то мне не совсем понятна постановка задачи. Вы, часом, не косвенными ли измерениями занимаетесь?

[Finarfin]

Похоже, но не совсем. метод косвенного измерения - цель. А величина P мне известна, но тот путь, которым она известна - долгий и сложный. Поэтому и ищется метод косвенного измерения. Точнее искался, уже не ищется

Часть злостного отступления от темы (участник tаpos) выделена в отдельную тему и закрыта. /GAA