Хитрые собственные векторы и собственные значения лин.оп.

[NEXUS]

Нужно найти собственные векторы и собственные значения:
Оператора X -> Х^T ( Х трансопнированное) в пространстве Мn(R);

Ответ такой : Ненулевые симметрические и кососимметрические матрицы; {1,-1}

Ну с сосбтвенными векторами всё понятно, собственные значения 1 и -1 действительно, вычисляются на примерах, для n=2 и n=3 я не поленился и посчитал:



Действительно так и получается, но как доказать это в общем случае для n?

Может быть есть какой-то простой путь это делать которого я не вижу?
Есть предложение делать это по теореме лапласа, но получается сложно и громоздко. Такое впечатление что есть какое-то элегантное решение абстрагированное собственно от матриц.

Заранее огромное спасибо тем кто не полениться подумать над этим заданием! Пишите любые ваши мысли, даже если вы не уверненны в их правильности, может они подтолкнут к решению. Срок до 4 часов ночи воскресенья.

[mihiv]

Посмотрите,что получится,если этот оператор применить дважды к произвольному вектору.

[NEXUS]

Удивительно! получается что для |A^2-l*E|=0 A^2 = E => L = 1 а если 1 корень, то и -1 корень. Так? Но, для любой ли матрицы А получится что А^2 = E?

[mihiv]

Векторы линейного пространства в вашей задаче это матрицы $n\times n$,в чем состоит действие оператора на матрицу?

[NEXUS]

В транспонировании. Но оно ведь ранспонирует именно матрицу размера n на n а на остальные это действует видимо по-другому.

[mihiv]

Так у вас других матриц и нет.

[NEXUS]

Да, теперь я всё понял! Огромнейшее вам спасибо!