Исследовать интеграл на сходимость

[INDIGO1991]

Добрый вечер!

Нужно исследовать интеграл на сходимость при всех значениях параметров:
$\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^{\alpha}{|sin(x)|}^{\beta}}$

Мне осталось исследовать на области $\alpha>1 ; \beta>0$ при всех остальных значениях параметра все благополучно исследовалось.
(Он сходится при $\alpha>1 ; \beta\leqslant0$ на остальных исследованных областях интеграл расходится.)

Ни один из признаков для этого интеграла применить не получается. =(
Исследования по критерию Коши тоже не дали результатов.

[Sintanial]

А разве по признаку сравнения нельзя ? просто оценить интеграл

[ИСН]

Там сходится. Оцените чем-нибудь пристойным интеграл по каждому периоду.

[INDIGO1991]

боюсь вы ошибаетесь.
Чтобы доказать сходимость нам надо оценивать сверху.
Я пытался придумывать разные оценки, но синус из знаменателя все портит.
=(

[ИСН]

Да, ошибаюсь иногда, конечно - errare humanum est. Посмотрел при $\beta=1$ и думал, что везде так; ан нет, не так. Теперь мне представляется, что сходится при $\alpha>\beta$.

-- Вс, 2009-11-22, 03:02 --

И только.

[RIP]

Оцените интеграл по промежуткам вида $[(n-1/2)\pi;(n+1/2)\pi]$ сверху и снизу. Оценивайте грубо: $(n-1/2)\pi\le x\le(n+1/2)\pi$, $2/\pi|x-\pi n|\le|\sin x|\le|x-\pi n|$. После удачной замены переменной интегрирования всё должно получиться.

[ewert]

Только я бы другие промежутки выбрал, но это не принципиально.

Интеграл двусторонне оценивается рядом $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^{\pi}{dx\over1+n^\alpha\sin^{\beta}x}$. Действительно, очевидно: этот ряд расходится при $\alpha\leqslant1$ независимо от $\beta$ (т.к. центральная часть интеграла оценивается снизу через $C\,n^{-\alpha}$ при положительных альфах и просто константой при неположительных), а если $\alpha>1$, то заведомо сходится при $\beta\leqslant0$. В области же $\alpha>1,\ \beta>0$ общий член ряда двусторонне оценивается через $\displaystyle2\int_0^{\pi/2}{dx\over1+An^{\alpha}x^{\beta}}=B\int_0^{C}{dy\over1+n^{\alpha}y^{\beta}}$ с фиксированными (при фиксированной $\beta$) $A$, $B$ и $C$. Заменой $\displaystyle n^{\alpha\over\beta}y=t$ интеграл приводится к виду $\displaystyle n^{-{\alpha\over\beta}}\int_0^{C\,n^{\alpha\over\beta}}{dt\over1+t^{\beta}}$, с которым всё ясно. Если $\beta\leqslant1$, то интеграл расходится на бесконечности, и общий член ряда ведёт себя как $n^{-\alpha}$, что даёт сходящийся ряд (при $\beta=1$ добавляется логарифмический множитель, но он не разрушает сходимость, т.к. $\alpha>1$ с запасом). Если же $\beta>1$, то интеграл на бесконечности сходится (т.е. стремится к константе), и общий член ведёт себя как $\displaystyle n^{-{\alpha\over\beta}}$; соответственно, будет сходимость при $\alpha>\beta$ и расходимость при $\alpha\leqslant\beta$.

В общем, сходимость будет тогда и только тогда, когда $\alpha>1$ и $\alpha>\beta$. Можно ли это как-нибудь проще получить?

[INDIGO1991]

Спасибо за помощь! Уже почти разобрался в решении. =)