Сепарабельность и разреженность

[AGu]

Условимся называть счетными такие множества $S$, что $|S|\leqslant|\mathbb N|$.

Метрическое пространство $(X,\rho)$ называется сепарабельным,
если существует такое счетное подмножество $S\subseteq X$, что $S$ всюду плотно в $X$
(т.е. для любых $x\in X$ и $\varepsilon>0$ найдется такой элемент $s\in S$, что $\rho(x,s)<\varepsilon$).

Подмножество $S\subseteq X$ метрического пространства $(X,\rho)$ назовем разреженным,
если существует такое число $\varepsilon>0$, что $\rho(x,y)\geqslant\varepsilon$ для любых $x,y\in S$, $x\ne y$.

Гипотеза.
Метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда,
когда любое его разреженное подмножество счетно.

P.S. Эта задачка была предложена (на дом) 40 студентам 3-го курса.
Никто не решил. Может, потому, что она для первокуров?

[id]

В одну сторону ( если сепарабельно, то всякое разреженное счетно ) очевидно. $\frac {\varepsilon} 2$-дизъюнктные окрестности элементов разреженного $S$.

В другую...
Полагаю, надо рассмотреть для каждого $\varepsilon \in \{\frac 1 n\}_{n=1}^{\infty}$ все разряженные множества с "разреженностью" $\varepsilon$ и упорядочить их по включению. Верхняя грань цепи - объединение. Лемма Цорна. Получаем максимальный элемент, разреженное множество с константой $\varepsilon$. Оно счетно... и не к нему нельзя добавить ни одной другой точки (не нарушая константу).
Берем теперь объединение этих максимальных элементов для $\varepsilon \in \{\frac 1 n\}_{n=1}^{\infty}$. Оно счетно. И, кажется, всюду плотно.


Ну это только идея, конечно, не строгое доказательство...

[AGu]

id в сообщении #263450 писал(а):

Ну это только идея, конечно, не строгое доказательство...

На мой взгляд, Вы все достаточно подробно изложили. И все верно.
Если бы такое решение сдал кто-то из тех 40 студентов, я бы с чистой совестью поставил высшую оценку.
Поздравляю, id!

[id]

Спасибо!
Справедливости ради надо сказать, что эту задачу ( но в терминах нормированных пространств ) я уже когда-то решал ( это № 223 из Кириллова, "Теоремы и задачи ФА") и даже пытался безуспешно использовать.