Несколько геометрических задач

[Lister]

Задачи со II Всероссийской студенческой олимпиады по математике 2008 г. (предполагаю, что для студентов технических и экономических вузов):

1. (15 баллов, остальные задачи олимпиады оценивались не выше 12 баллов).
В трехмерном евклидовом пространстве даны $n$ параллелепипедов с ребрами, параллельными координатным осям. Матрица $A$ составлена таким образом, что на месте $(i,j)$ стоит объем пересечения $i$-ого и $j$-ого параллелепипедов. Докажите, что $det(A)\geq 0$.

Собственно, здесь я пытался найти алгоритм приведения матрицы к треугольному виду, считая лишь, что $A = A^T$, $a_{ij}\geq 0$ и $a_{ii}\geq a_{ij}, \ a_{ii}\geq a_{ji}\ \ \forall i,j = 1,..,n $. Возможно, упустил какие-то условия из геометрической интерпретации, либо вообще нужно действовать по-другому.

2. (12 баллов)
Пусть $C$- единичный круг $x^2+y^2 \leq 1$. Точка $P$ выбирается произвольным образом на границе круга $C$, а точка $Q$ - произвольным образом на внутренности круга $C$ (эти точки выбираются независимо друг от друга и равномерно на своих областях определения). Пусть $R$ - прямоугольник с диагональю $PQ$ и сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность, что прямоугольник $R$ целиком содержится в $C$?

[ИСН]

В 1 Вашего "считая лишь", очевидно, недостаточно. (Легко придумать матрицу с такими условиями и со всё-таки отрицательным определителем.) А как тогда делать? - не знаю, буду думать.
2 должно считаться банально двумя интегралами. Даже нет, одним. Для данной точки P площадь, благоприятная для попадания Q, составляет... - и вот от этого интеграл по всей окружности.

[nn910]

Lister в сообщении #262724 писал(а):

Пусть $C$- единичный круг $x^2+y^2 \leq 1$. Точка $P$ выбирается произвольным образом на границе круга $C$, а точка $Q$ - произвольным образом на внутренности круга $C$ (эти точки выбираются независимо друг от друга и равномерно на своих областях определения). Пусть $R$ - прямоугольник с диагональю $PQ$ и сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность, что прямоугольник $R$ целиком содержится в $C$?

Пусть А="прямоугольник $R$ целиком содержится в $C$"
$P(A|P=(x,y))=\dfrac{4|xy|}{\pi}$
$P(A})=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P(A|P=(cos{\phi},sin{\phi}))d\phi=\dfrac{4}{\pi^2}$

[Юстас]

Lister в сообщении #262724 писал(а):

1. (15 баллов, остальные задачи олимпиады оценивались не выше 12 баллов).
В трехмерном евклидовом пространстве даны $n$ параллелепипедов с ребрами, параллельными координатным осям. Матрица $A$ составлена таким образом, что на месте $(i,j)$ стоит объем пересечения $i$-ого и $j$-ого параллелепипедов. Докажите, что $det(A)\geq 0$.

Достаточно показать, что матрица неотрицательно определена(а в силу критерия Якоби и индукции необходимо).
Пусть $\Omega_i$ - i-й параллелепипед, тогда $\hbox{Vol}(\Omega_i\cap \Omega_j)=\iiint I_{\Omega_i}I_{\Omega_j}dxdydz$, где $I_{\Omega_i}$ - индикаторная функция $\Omega_i$.
Имеем

$$(Ax,x)=\sum a_{ij}x_i x_j=\iiint \sum_{i,j}I_{\Omega_i}I_{\Omega_j}x_i x_j dxdydz=\iiint \left(\sum x_i I_{\Omega_i}\right)^2 dxdydz\geq 0$$

[Lister]

ИСН, nn910 - спасибо; не был окончательно уверен в правильности моего решения 2й задачи, вы развеяли мои сомнения.
Юстас - благодарю, очень изящное решение; похоже, я изначально двигался в ложном направлении - пытался вычислить определитель алгебраически, просто взяв некоторые свойства матрицы из геометрической интерпретации, про положительную определенность не подумал. Возможно, существует и другой путь - надо будет еще обдумать на досуге.