Не должно быть элементарных док-в FLT.

[Really]

Если подобная тема уже обсуждается(лась) в рамках этого форума, пошу сообщить. Я этого не нашел.

Вопрос: Существует ли доказательство Теоремы Ферма методами теории чисел? Я кое-что читал о доказательстве Последней теоремы Ферма и, прочитав несколько тем этого форума, захотел привести свои, чисто эвристические, рассуждения на эту тему.

Насколько мне известно, FLT была доказана при помощи эллиптических кривых. Это говорит о том, что она выражает не некоторое свойство чисел, а свойство трехмерного пространства. Поэтому было бы не логично искать ее док-во методами теории чисел. Именно это в данном случае я называю элементарным доказательством. Поскольку теорема верна, то конечно может существовать множество других способов ее доказательств, но в данном случае это, как мне кажется, было бы удивительно.
Интересно услышать ваше мнение по этому вопросу.

[Руст]

Really писал(а):

Если подобная тема уже обсуждается(лась) в рамках этого форума, пошу сообщить. Я этого не нашел.

Вопрос: Существует ли доказательство Теоремы Ферма методами теории чисел? Я кое-что читал о доказательстве Последней теоремы Ферма и, прочитав несколько тем этого форума, захотел привести свои, чисто эвристические, рассуждения на эту тему.

Насколько мне известно, FLT была доказана при помощи эллиптических кривых. Это говорит о том, что она выражает не некоторое свойство чисел, а свойство трехмерного пространства. Поэтому было бы не логично искать ее док-во методами теории чисел. Именно это в данном случае я называю элементарным доказательством. Поскольку теорема верна, то конечно может существовать множество других способов ее доказательств, но в данном случае это, как мне кажется, было бы удивительно.
Интересно услышать ваше мнение по этому вопросу.

Доказательство Уайлса относится полностью к теории чисел, только к далеко не элементарным разделам.
В принципе я допускаю существование элементарного доказательства первого случая теоремы Ферма, что было подитожено Тержаняном для первого случая и чётного n. Но не в таком примитивном уровне как тут пытались показать ферманьяки. Если есть интерес к элементарным доказательствам на уровне знаний обязательных курсов алгебры университетов, я готов привести до чего другие в этом преуспели. В принципе получено много результатов относительно первого случая, для которых не найдено ни одного простого числа не удовлетворяющего приведённым условиям. Т.е. "можно сказать" что первый случай был доказан.

[Really]

Насколько мне известно, Тержанян доказал следующее:
Равенство x^(2*n)+y^(2*n)=z^(2*n) не имеет нетривиальных решений в целых числах, при условии n - нечётное число > 1 и x,y,z не делятся на n.
Или я не прав?

Цитата:

В принципе получено много результатов относительно первого случая, для которых не найдено ни одного простого числа не удовлетворяющего приведённым условиям. Т.е. "можно сказать" что первый случай был доказан.

Вот здесь, если можно поподробней.

[Руст]

Really писал(а):

Насколько мне известно, Тержанян доказал следующее:
Равенство x^(2*n)+y^(2*n)=z^(2*n) не имеет нетривиальных решений в целых числах, при условии n - нечётное число > 1 и x,y,z не делятся на n.
Или я не прав?

Цитата:

В принципе получено много результатов относительно первого случая, для которых не найдено ни одного простого числа не удовлетворяющего приведённым условиям. Т.е. "можно сказать" что первый случай был доказан.

Вот здесь, если можно поподробней.

На самом деле Тержанян доказал только для всех чётных n первый случай и второй случай для n=2*7.
О первом случае доказано, что она верна если:
1) Число классов максимального действительного подполя кругового расширения не делится на р. Не найдено ни одного опровергающегося значения р.
2) Перый случай верен, если найдётся l<=89, такое что
$l^{p-1}\not =1(mod \ p^2)$
Не найден контрпример, когда условие не выполняется.
3) Перый случай верен (обобщённое условие Жермен) если найдётся простое число q=2kp+1, что определитель Вента не делится на q и $(2k)^{2k}\not =1(mod \ q)$
Уже после доказательства Уайлсом доказано, что этому условию удовлетворяют почти все простые р (точнее, плотность тех, для которых это не верно равно 0). И не найдено опровергающегося примера.

[juna]

Руст писал(а):

Первый случай верен, если найдётся l<=89, такое что $l^{p-1}\not =1(mod \ p^2)$. Не найден контрпример, когда условие не выполняется.

Покажите, пожалуйста, идею доказательства этого утверждения.

[Really]

Что-то не понял.

Цитата:

2) Перый случай верен, если найдётся l<=89, такое что

$$l^{p-1}\not = 1 (mod\; p^2) $$

Не найден контрпример, когда условие не выполняется.

Какие ограничения на $l$ и $p$? При простых $l$ и $p$ есть контрпримеры. Или вы ошиблись при записи?

[juna]

Я так понял, что под $p$ понимается простое число - показатель степени, для которого пытаются доказать первый случай теоремы Ферма - $p\nmid{xyz}$, а $l$ - любое число с ограничением $l\leqslant 89$.
Мне известно, например, такое утверждение, что первый случай справедлив для всех простых $p$, для которых $p^2\nmid{2^{p-1}-1$, можно также вместо двойки брать тройку.

[Really]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Мне известно, например, такое утверждение, что первый случай справедлив для всех простых $p$, для которых $p^2\nmid{2^{p-1}-1$

А что-нибудь известно о делимости ${2^{p-1}-1$ на p^2?
Известны примеры когда делится?

Что касается $l^{p-1}\not=1(mod\;p^2)$, то если $l=7, \; p=3$ получаем $49=4 (mod \;9)$
Если имелось ввиду равенство, то при $l=7, \; p=5$ получаем $7^4=2401=1 (mod \;25)$.

[juna]

Да нет, у Руста все правильно. Утверждается же, что должно найтись хотя бы одно $l$, для которого $p^2\nmid{l^{p-1}-1}$. Просто мне известно это утверждение только для $l=2,3$, а здесь аж до 89 - и судя по теме доказательства не должны выходить из области элементарных...

[Really]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Да нет, у Руста все правильно. Утверждается же, что должно найтись хотя бы одно $l$, для которого $p^2\nmid{l^{p-1}-1}$. Просто мне известно это утверждение только для $l=2,3$, а здесь аж до 89 - и судя по теме доказательства не должны выходить из области элементарных...

Спасибо за разъяснения. Теперь понял. Действительно интересно про 89.

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Я так понял, что под $p$ понимается простое число - показатель степени, для которого пытаются доказать первый случай теоремы Ферма - $p\nmid{xyz}$, а $l$ - любое число с ограничением $l\leqslant 89$.
Мне известно, например, такое утверждение, что первый случай справедлив для всех простых $p$, для которых $p^2\nmid{2^{p-1}-1$, можно также вместо двойки брать тройку.

Это доказывается с помощью закона взаимности Эйзенштейна для 2 и 3 (6|xyz). Для больших l до 89 до которого доведено я не знаю доказательство, об этом упоминается в книге Рибенбойма "Последняя теорема Ферма".
Есть и более элементарные результаты которые "почти доказывабт" первый случай. Например результат Клёсгена:
Если первый случай теоремы Ферма не выполнен для некоторого показателя р>5, то существует число а, 1<=a<=(p-5)/2, такое, что
$(1+a)^{p^2}=1+a^{p^2} (mod \ p^4)$.
Так же не найден контрпример этому условию.

[juna]

Книга П.Рибенбойма "Последняя теорема Ферма для любителей" - очень удачная, ее можно рекомендовать всем, кто интересуется не только ВТФ, но и теорией чисел в целом. Констатирую факт, что все указанные Рустом предложения в ней встречаются и многие доказываются.