численные методы

[ildmth]

правильно я понимаю, метод обратной итерации находит максимальное собственное число?? как, зная его, проще всего найти минимальное собственное число?

[jetyb]

Если $\lambda_j$ - собственные числа обратимой матрицы A, то $\left{\frac{1}{\lambda_j}\right}$ - собственные числа обратной матрицы.

[ildmth]

мне не нужны собственные числа обратной матрицы.

[AD]

Из предыдущего сообщения как раз следует, что нужны. А из Вашего первого - что Вы умеете их искать в нужном объёме.

Ну ладно, наводящий вопрос. Какое число максимальное в наборе $\{2,10\}$? А какое минимальное в наборе $\{0.5,\ 0.1\}$? Чувствуете связь между ответами?

[ildmth]

я наверно что то не понимаю.
у меня есть матрица А. с помощью метода обратной итерации я нашел ЕЁ максимальное собств. число, а мне нужно ЕЁ минимальное. Каким образом это связать с обратной матрицей?

[AD]

Ладно, подскажу подробнее, только Вы не читайте, потому что это очень просто:

(Оффтоп)

Обозначим через $\lambda(A)$ максимальное по модулю собственное число любой матрицы $A$. Тогда, очевидно, минимальное по модулю собственное число матрицы $A$ будет $\frac1{\lambda(A^{-1})}$ (если обратной матрицы нет, то, разумеется, нолик)

[ewert]

Вывод. Метод обратных итераций даёт именно минимальное собственное число. Если, конечно, это не итерации со сдвигами -- тогда, в принципе, можно получить любое.

[ildmth]

ewert в сообщении #263296 писал(а):

Вывод. Метод обратных итераций даёт именно минимальное собственное число. Если, конечно, это не итерации со сдвигами -- тогда, в принципе, можно получить любое.

спасибо


тогда еще вопрос, от каких параметров зависит минимальное собственное число дифференциального оператора второго порядка.
Т.е. есть задача колебания струны. Есть уравнение:
$$ \frac{-d^2U}{dx^2} = \lambda U
Разностным методом сводится к матричной задаче на собств. значения.
Есть ответ:
$$ \lambda = \frac{4}{h^2} sin^2(\frac{h}{4})

Вопрос: Правильный ли это ответ?

[ewert]

Неизвестно. Это вообще не ответ. Это просто набор таинственных буквосочетаний. Граничные условия -- не поставлены, о каком конкретно собственном числе речь (их там жутко много) -- не оговорено, при чём тут струна (говоря формально, вовсе не причём) -- тоже не указано, и уж не говоря даже о такой мелкой придирке, что не определено $h$.

Бардак-с.

[ildmth]

да, понял, торопился.
К слову не струна, а стержень.
h-шаг сетки.
конец x=0 закреплен упруго, конец x=l закреплен жестко. l- длина стержня.
Собственное число, как видно в прошлых сообщениях - минимальное.