Возрастающая функция: Помогите обосновать ...

[wall-e]

Доказать, что если f задана на интервале и каждая точка является точкой возрастания, то f строго возрастает на этом интервале.
Доказательство
Предположим обратное. Пусть f возрастает в каждой точке интервала (a,b), но не является строго возрастающей на этом интервале. Это означает, что существуют две точки u,v принадлежащих (a,b), для которых выполняетс u<v и f(u)>=f(v).
Зафиксируем u и рассмотрим точную нижнюю границу множества V={v: u<v<b, f(u)>=f(v)}, которую обозначим через w.
Так как u-точка возрастания, то u<w. Но каждое из неравенств: f(u)>=f(w) и f(u)<f(w) противоречит выбору точки w.
Помогите , пожалуйста, разобраться: каким условиям противоречат данные неравенства?

[jetyb]

Пока никаким. В вашем решении не используется локальное возрастание функции в каждой точке. Используется только локальное возрастание в точке u.

Лучше вспомните о понятии компактности.

[wall-e]

f(u)<f(w) противоречит максимальности w в множестве нижних границ.
f(u)>=f(w) противоречит тому, что w- точная нижняя граница множества V.
Прошу, пояснить каким образом получились данные противоречия?
jetyb
Вспомнить о понятии компактности не могу, так как оно еще не пройдено в универе

[jetyb]

wall-e в сообщении #263052 писал(а):

f(u)<f(w) противоречит максимальности w в множестве нижних границ.
f(u)>=f(w) противоречит тому, что w- точная нижняя граница множества V.

Противоречий пока тут нет.
Возьмите функции:
$y=\begin{cases}x\quad\quad\quad,0<x<1\\x-2\quad,1\leq x<2\end{cases} y=\begin{cases}x\quad\quad\quad,0<x\leq 1\\x-2\quad,1<x<2\end{cases}$
Пусть u=0.5 . В обоих случаях w=1. Неравенства выполняются, и никаких противоречий не наблюдается.

wall-e в сообщении #263052 писал(а):

Вспомнить о понятии компактности не могу, так как оно еще не пройдено в универе

Очень удивлен. Обычно его дают в первых лекциях.

[wall-e]

f(u)<f(w) противоречит максимальности w в множестве нижних границ.
Очевидно, противоречие тут заключается в том, что мы предроложили, что выполняется u<v и f(u)>=f(v). Поэтому, раз f(u)<f(w), то u>w, а поэтому w не является максимальным в множестве нижних границ.

-- Вт ноя 17, 2009 22:48:17 --

Приведенное мной решение, очевидно, верно. Но что-то затрудняюсь с объяснением...
f(u)>=f(w) противоречит тому, что w- точная нижняя граница множества V. это самая не понятная часть

[jetyb]

wall-e в сообщении #263062 писал(а):

f(u)<f(w) противоречит максимальности w в множестве нижних границ.
Очевидно, противоречие тут заключается в том, что мы предроложили, что выполняется u<v и f(u)>=f(v). Поэтому, раз f(u)<f(w), то u>w, а поэтому w не является максимальным в множестве нижних границ.

Второе условие неверно. Множество нижних границ $V $- это $A=\{a|\forall x\in V \quad a<x\}$. Максимальность $w$ в $A$ значит, что $\forall a\in A\quad a\leq w$. Никаких функций $f$ в предположении нет. У вас либо невероное доказательство, либо огрызок от него. В любом случае советую почитать для общего развития(и преододения сессии) про компактность.

[wall-e]

jetyb
Раз мое доказательство ошибочно, не могли бы Вы помочь мне в доказательстве данного утверждения?

[jetyb]

Сперва доопределим функцию на концах отрезка с сохранением локального возрастания: можно считать ее значения равными там $\pm\infty$. Возрастание функции в каждой точке означает, что для любой точки найдется фиксированная содержащая ее окрестность, такая, что функция строго возрастает в этой окрестности. Пусть функция не возрастает строго на отрезке. Разделим отрезок пополам, выберем половину, на которой функция не возрастает строго ...
Продолжите

[wall-e]

jetyb
Используя метод половинного деления не факт, что та часть функции, которая не возрастает строго, будет всегда строго находится в одной из двух частей.

[jetyb]

Что часть функции, которая не возрастает строго, строго не будет находиться в одной из частей - да.
Фишка в том, что найдется половина, в которой функция не возрастает строго(а может, и две половины): если функция строго возрастает на каждой половине отрезка, то она строго возрастает и на всем отрезке.

[wall-e]

Возможно Ваше решение и приведет к правильному выводу, но преподаватель просил меня довести мое решение до ума

-- Ср ноя 18, 2009 00:15:42 --

Не могли бы Вы мне помочь мне?

[ewert]

wall-e в сообщении #263045 писал(а):

Так как u-точка возрастания, то u<w. Но каждое из неравенств: f(u)>=f(w) и f(u)<f(w) противоречит выбору точки w.Помогите , пожалуйста, разобраться: каким условиям противоречат данные неравенства?

Извините, мне лень читать всё. А противоречия вот какие.

Если $f(w)>f(u)$, то (поскольку $w$ -- тоже точка возрастания) в некоторой окрестности $w$ из $t>w$ следует $f(t)>f(w)>f(u)$. Это противоречит тому, что $w$ есть инфимум того нехорошего множества (т.е. в этом случае инфимум должен лежать правее).

Если $f(w)\leqslant f(u)$, то (опять же из-за возрастания в точке $w$) в некоторой окрестности $w$ из $t<w$ следует $f(t)<f(w)\leqslant f(u)$. Снова нехорошо -- на этот раз фактический инфимум должен лежать левее точки $w$.

jetyb в сообщении #263060 писал(а):

Очень удивлен. Обычно его дают в первых лекциях.

Смотря что за университет. Здесь компактность если и нужна, то в варианте леммы Гейне-Бореля. А её в технических вузах давать как-то не очень и принято.