Сумма странного множества

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #262858 писал(а):

Можно произведение прологарифмировать. Сумма логарифмов будет тоже алеф. Ну и возвести любое основание в эту степень. Ясно, что получится.

Как Вы собираетесь логарифмировать бесконечное произведение? Я имел в виду мощность декартова произведения. Кстати, я говорил о $\aleph_0$, т. е. о мощности счётного множества. Какой алеф Вы имеете в виду?

О ясности не может быть и речи. По теореме Кёнинга-Цермело данное произведение строго больше суммы всех элементов натурального ряда. Т. е. это произведение строго больше чем $\aleph_0$.

[gris]

Пардон. У меня была только кирилличная клава. Сейчас попробую выразить невыразимое.
Пусть $\prod i=A$ Тогда $\log A=\log\prod i=\sum\log i=\aleph_0$

То есть $A=2^{\log A}=2^{\aleph_0}=\aleph_1$

[Профессор Снэйп]

Виктор Викторов в сообщении #262845 писал(а):

Предлагаю вернуться к вопросу какова сумма натурального ряда. Давайте рассмотрим в этой сумме каждое слагаемое как кардинал конечного множества. В таком случае сумма натурального ряда равна $\aleph_0$. Пишу я это не совсем бескорыстно. Меня интересует произведение натурального ряда.
Меня интересует произведение натурального ряда. Сколько будет $1*2*3*...*n*...$?

Другими словами, спрашивается, чему равна мощность множества таких функций $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, что $f(i) \in [1,i]$ для любого $i \in \mathbb{N}$. Очевидно, что континуум

-- Вт ноя 17, 2009 16:37:26 --

gris в сообщении #262876 писал(а):

...$2^{\aleph_0}=\aleph_1$

Только в предположении континуум-гипотезы

[Виктор Викторов]

Спасибо Профессор Снэйп.

gris в сообщении #262876 писал(а):

$\sum\log i=\aleph_0$

gris! Как Вы пришли к такой формуле? Как сумма действительных чисел может быть равна $\aleph_0$? Только сумма кардиналов может быть равна трансфинитному кардиналу.

[gris]

Виктор Викторов в сообщении #262845 писал(а):

Предлагаю вернуться к вопросу какова сумма натурального ряда. Давайте рассмотрим в этой сумме каждое слагаемое как кардинал конечного множества. В таком случае сумма натурального ряда равна $\aleph_0$.

А какая разница? Можно оценить каждый логарифм сверху и снизу натуральным числом.
Впрочем, я писал всё это просто с целью развлечения и озорства, если хотите.

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #262955 писал(а):

А какая разница? Можно оценить каждый логарифм сверху и снизу натуральным числом.

Разница в том, что трансфинитный кардинал не является действительным числом. Поэтому действительное число и трансфинитный кардинал несравнимы.

gris в сообщении #262955 писал(а):

Впрочем, я писал всё это просто с целью развлечения и озорства, если хотите.

Я прокомментирую эту фразу в 2013 году.