Над какими кольцами справедлива/известна ВТФ?

[AD]

Просто любопытно, навеяно следующим:

bot в сообщении #262161 писал(а):

Все, кроме одного описывались конечной системой квазитождеств (даже тождеств), а при описании последнего возникла проблема - в систему его квазитождеств надо было включить ровно те квазитождества $x^p+y^p + z^p=0 \longrightarrow xyz=0 \ (p\ne 2)$, которые справедливы в кольце $\mathbb Z$.

То есть над какими кольцами $R$ какое получается множество

$$\mathcal{F}(R)\stackrel{def}{=}\left\{p\in\mathbb{N}:x^p+y^p + z^p=0\Rightarrow (x=0\vee y=0 \vee z=0\right)\}$$

[Mathusic]

AD в сообщении #262451 писал(а):

Просто любопытно, навеяно следующим:

bot в сообщении #262161 писал(а):

Все, кроме одного описывались конечной системой квазитождеств (даже тождеств), а при описании последнего возникла проблема - в систему его квазитождеств надо было включить ровно те квазитождества $x^p+y^p + z^p=0 \longrightarrow xyz=0 \ (p\ne 2)$, которые справедливы в кольце $\mathbb Z$.

То есть над какими кольцами $R$ какое получается множество

$$\mathcal{F}(R)\stackrel{def}{=}\left\{p\in\mathbb{N}:x^p+y^p + z^p=0\Rightarrow (x=0\vee y=0 \vee z=0\right)\}$$

(Оффтоп)

$\forall R \subset \mathbb{Z}$

Да,интересно. Или если в частности рассматривать подкольца $R_{int}=\{na|a \in R, n \in \mathbb{Z}\}$ некоторого кольца.
Например верна для $\mathbb{Z}_2$
Или для подкольца скалярных матриц порядка $n$ над $\mathbb{Z}$ (как в прочем и для любого такого кольца, если она верна над $R$)
Только, AD, тут нужно уточнение на счёт деления в кольце.
Если есть делители нуля, то вдруг $x^p=0$. А мы этого хотели?
Может лучше так?

$$\mathcal{F}(R)\stackrel{def}{=}\left\{p\in\mathbb{N}:x^p+y^p + z^p=0\Rightarrow (x^p=0\vee y^p=0 \vee z^p=0\right)\}$$

[Mathusic]

Ещё одна поправочка. Нужно степень брать >2.
И ещё: может же $x^p+y^p+z^p=0$ не иметь решений, в то время как $x^p+y^p=z^p$ будет иметь решения. (например $x^2+y^2=z^2$). Так что окончательно предлагаю сделать так (оставить уравнение Ферма as is ).
Пусть

$$\mathcal{F}(R)\stackrel{def}{=}\left\{p\in\mathbb{N} / \{1\}:x^p+y^p = z^p\Rightarrow (x^p=0\vee y^p=0 \vee z^p=0\right)\}$$

.
Тогда
если $\mathcal{U}=\mathcal{F}(R)$, то $R$ будем называть $\mathcal{U}$ - кольцом Ферма,
если $2 \not \in \mathcal{U}$, то кольцо будем называть пифагоровым.

Например $\mathbb Z$ - пифагорово $\emptyset$ - кольцо Ферма.

[Коровьев]

Утверждение верно
1. В кольце гауссовых чисел при $p=4$
2. В кольце целых алгебраических чисел $R\left( {e^{{\textstyle{{2\pi i} \over p}}} } \right)$, где $p$ - регулярное простое число /Число классов дивизоров кольца не делится на $p$.Куммер/
p.s. Ферматики! Для нерегулярных не доказано! Спешите.
Не верно
1. В конечных полях простой характеристики, ибо тривиально
$(x+y)^p=x^p+y^p$
2. В общем случае для $p$-адических чисел кольца $\mathbb Q _p$. К примеру
- в $\mathbb Q _5$ решения не существует
- в $\mathbb Q _7$ решение есть.
Выложил всё, что знал. Ничего не утаил.

[Mathusic]

Коровьев в сообщении #262545 писал(а):

Не верно
1. В конечных полях простой характеристики, ибо тривиально
$(x+y)^p=x^p+y^p$

А какой еще характеристики могут быть конечные поля ?
Верно (что неверно), если в поле больше 2-х эл-тов. Над $\mathbb{Z}_2$ ВТФ верна.

[RIP]

Есть ещё теорема Шура: для любого $n\in\mathbb N$ существует $C=C(n)$, что для любого простого $q>C$ найдётся нетривиальное решение уравнения $x^n+y^n=z^n$ в поле $\mathbb F_q$. Какая наименьшая $C(n)$ известна, не знаю. Я умею доказывать с $C(n)=3n!$.

[Mathusic]

RIP в сообщении #262567 писал(а):

Есть ещё теорема Шура: для любого $n\in\mathbb N$ существует $C=C(n)$, что для любого простого $q>C$ найдётся нетривиальное решение уравнения $x^n+y^n=z^n$ в поле $\mathbb F_q$. Какая наименьшая $C(n)$ известна, не знаю. Я умею доказывать с $C(n)=3n!$.

А где есть д-во?

[RIP]

Mathusic в сообщении #262569 писал(а):

А где есть д-во?

Мне его проще набить, чем найти.
Upd. Если поможет, то ссылка на статью: I. Schur, Uber die Kongruenz $x^m+ y^m= z^m\pmod p$, Jahresbericht der Deutschen Math.-Verein, 1916.

Лемма. Пусть $G_n$ --- полный граф на $n$ вершинах. Пусть каждое из его рёбер раскрашено в один из $r$ цветов. Если $n\ge3r!$, то найдётся одноцветный треугольник.

Доказательство. Индукция по $r$. При $r=1$ утверждение очевидно. Пусть $r>1$. Фиксируем вершину. Среди $n-1$ изходящих из неё рёбер найдутся по крайней мере $3(r-1)!$ одного цвета. Рассмотрим вершины на других концах этих рёбер. Если среди цветов, в которые покрашены соединяющие их рёбра, есть этот же цвет, то мы счастливы. В противном случае работает индукция.

Следствие. Если числа $\{1,2,\ldots,n\}$ покрашены в $r$ цветов, причём $n\ge3r!-1$, то найдётся одноцветное решение уравнения $x+y=z$, $1\le x,y,z\le n$.

Доказательство. Рассмотрим полный граф, вершинами которого будут числа $0,1,2,\ldots,n$. Красим ребро, соединяющее вершины $i\ne j$, в тот цвет, в который покрашено число $|i-j|$. Выбираем одноцветный треугольник. Если $i<j<k$ --- его вершины, то $x=k-j$, $y=j-i$, $z=k-i$.

Следствие. Если простое $q\ge3n!$, то уравнение $x^n+y^n=z^n$ имеет нетривиальное решение в поле $\mathbb F_q$.

Доказательство. Множество $\{a^n\mid a\in\mathbb F_q^*\}$ является подгруппой в $\mathbb F_q^*$ индекса $r:=(q-1,n)\le n$. Красим элементы $\{1,2,\ldots,q-1\}$ в соответствии с тем, какому смежному классу они принадлежат как элементы $\mathbb F_q^*$. Выбираем одноцветное решение и сокращаем на подходящий множитель.

[Mathusic]

Теорема.
==
Пусть $f,g,h$ - попарно взаимнопростые комплексные многочлены, причём $f^n+g^n=h^n$ ($n$ --- натуральное), тогда $n \le 2$.
==
Для $n=2$, например, $(x^2-1)^2+(2x)^2=(x^2+1)^2$.
Интересно что с Билем в этом случае. Наверное неверен.

[AV_77]

Mathusic в сообщении #263072 писал(а):

Теорема.
==
Пусть $f,g,h$ - попарно взаимнопростые комплексные многочлены, причём $f^n+g^n=h^n$ ($n$ --- натуральное), тогда $n \le 2$.
==

Эту теорему С. Ленг доказал.