Конечная функция

[Mystery]

Ребята... помогите разобраться....
чем отличается "конечная функция" от "ограниченая функция" или это одно и то же? Если нет - можно пример конечной но не ограниченой?

(попробую сама ответить - правильно ли? -- Если рассматривать на интервале - то это одно и то же - т.е. конечная функция ограничена и наоборот, а на ($- \infty, + \infty$) например любая непрерывная возрастающая функция -- к примеру $x^2$ конечна, но неограничена -- так? - потому что при любом значении x, $f(x)< \infty$ .)

[gris]

На отрезке тоже можно построить неограниченную функцию, принимающую в любой точке конечное значение. Правда, она будет разрывной. ($\frac1x$, доопределённая в нуле)
Мне кажется, это понятие из функционального анализа, где живут измеримые функции. Есть функции, которые принимают на интервале лишь конечное число значений. В теории интеграла Лебега рассматривают ступенчатые функции.
Надеюсь, Вы имели в виду не финитные функции?

[AKM]

Возможно, "конечная" ---- просто устаревший синоним "ограниченной"?
Небольшая цитата из первоисточника помогла бы разобраться.

[gris]

В теории измеримых функций рассматриваются также и "бесконечные" значения функций, лишь бы эта бесконечность имела знак. То есть существовал предел $+\infty$ или $-\infty$. Может быть конечная функция должна иметь в каждой точке конечный предел?

Тогда доопределённая в нуле нулём $\sin\frac1x$ была бы ограниченной, но не конечной.

[ewert]

gris в сообщении #262547 писал(а):

В теории измеримых функций рассматриваются также и "бесконечные" значения функций, лишь бы эта бесконечность имела знак. То есть существовал предел $+\infty$ или $-\infty$.

Почему предел? Просто бесконечность, и всё.

gris в сообщении #262547 писал(а):

Может быть конечная функция должна иметь в каждой точке конечный предел?

Нет, таких определений не бывает.

Вообще называть функцию "конечной" как-то не принято.

[AKM]

Вот что нашёл на полочке.
"Элементы теории функций", СМБ, 1963, стр.36:

Цитата:

Пусть функция $f(x)$ определена на множестве $E$.
Функция $f(x)$ называется ограниченной на $E$, если множество $f(E)$ ограничено. Её называют конечной на $E$, если она принимает в каждой точке $x\in E$ конечное значение $y=f(x)$, $-\infty < y < +\infty $.

[TOTAL]

Возможно, это авторское название для финитной функции.

[Mystery]

По поводу цитаты из первоисточника - Натансон "Теория функций вещественной переменной". Определение абс. непрерыной функции.
Пусть на сегменте $[a, b]$ задана конечная функция $f(x)$. Если всякому $ \varepsilon>0$ отвечает такое $=\delta>0$, что для любой коненчной системы взаимно не пересекающихся интервалов $(a_1, b_1)... (a_n, b_n)$ для которой $\sum\limits_{k=1}^n(b_k-a_k)<\delta$ оказывается $\left|\sum\limits_{k=1}^n(f(b_k)-f(a_k))\right|<\varepsilon$ , то говорят, что функция абсолютно непрерывна.

-- в этой же книге много раз еще встречается этот термин например в разных утверждениях.

-- Пн ноя 16, 2009 14:34:17 --

AKM в сообщении #262554 писал(а):

Вот что нашёл на полочке.
"Элементы теории функций", СМБ, 1963, стр.36:

Цитата:

Пусть функция $f(x)$ определена на множестве $E$.
Функция $f(x)$ называется ограниченной на $E$, если множество $f(E)$ ограничено. Её называют конечной на $E$, если она принимает в каждой точке $x\in E$ конечное значение $y=f(x)$, $-\infty < y < +\infty $.

Спасибо! То что надо. Очевидно если дело касается интервала $[a,b]$ то функция соответственно должна принимать конечные значения при $a\leq x\leq b$