По поводу цитаты из первоисточника - Натансон "Теория функций вещественной переменной". Определение абс. непрерыной функции.
Пусть на сегменте
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
задана конечная функция
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
. Если всякому
![$ \varepsilon>0$ $ \varepsilon>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/4/594a7402da83c7755bcf41db0cb1666b82.png)
отвечает такое
![$=\delta>0$ $=\delta>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/f/51f7feaa21dba2398589c9285811134582.png)
, что для любой коненчной системы взаимно не пересекающихся интервалов
![$(a_1, b_1)... (a_n, b_n)$ $(a_1, b_1)... (a_n, b_n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/3/c53e8c9dd332e41fa2bf703bf5a2a2fb82.png)
для которой
![$\sum\limits_{k=1}^n(b_k-a_k)<\delta$ $\sum\limits_{k=1}^n(b_k-a_k)<\delta$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d6391c68acb0da5c6abf8e8f67fed682.png)
оказывается
![$\left|\sum\limits_{k=1}^n(f(b_k)-f(a_k))\right|<\varepsilon$ $\left|\sum\limits_{k=1}^n(f(b_k)-f(a_k))\right|<\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/0/940f3e7b9eac4cbef4a07beff789d58882.png)
, то говорят, что функция абсолютно непрерывна.
-- в этой же книге много раз еще встречается этот термин например в разных утверждениях.
-- Пн ноя 16, 2009 14:34:17 --Вот что нашёл на полочке.
"Элементы теории функций", СМБ, 1963, стр.36:
Цитата:
Пусть функция
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
определена на множестве
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
.
Функция
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
называется
ограниченной на
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
, если множество
![$f(E)$ $f(E)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/8/1b8cf4b856affe5a5e6e2302afbed43782.png)
ограничено. Её называют
конечной на
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
, если она принимает в каждой точке
![$x\in E$ $x\in E$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/e/f6e9ea264d9a79e07006c4b25db8038682.png)
конечное значение
![$y=f(x)$ $y=f(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/2/0e241c321e18ed6141f9a47d8095bebd82.png)
,
![$-\infty < y < +\infty $ $-\infty < y < +\infty $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/3/58326137e68f277d5a8139b749816c2f82.png)
.
Спасибо! То что надо. Очевидно если дело касается интервала
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
то функция соответственно должна принимать конечные значения при
![$a\leq x\leq b$ $a\leq x\leq b$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/1/ee13a695552723f06646c82770af554982.png)