решение тригонометрического уравнения

[tmmok]

подскажите каким способом можно решить уравнение вида $a + b\cos(x) + c\sin(x) + d\sin^2(x)=0$ наиболее просто
замена $cos(x)=\sqrt {1-\sin^2(x)} $ как и введение половинных углов, вроде, только усложняет.

[AKM]

Выражением триг. функций через $\tg\dfrac x2$.
Уравнений 4-й степени не избежать.

[tmmok]

Большое спасибо за ответ!
Но так как ответ полученного уравнения предстоит дифференцировать, то решил пойти другим путем и все же попытаться упростить ответ, однако не получается...
Имеем начальное уравнение $a+b \cos (x) + \sqrt{a+b \cos (x)} (c \sin (x)-d)$ если за скобки вынести $\sqrt{a+b \cos (x)}$ получим $\sqrt{a+b \cos (x)} \left(\sqrt{a+b \cos (x)}+c \sin (x)-d\right)$, рассмотрим уравнение в скобках $\sqrt{a+b \cos (x)}=d - c \sin (x)$ возвести в квадрат обе части, то получается опять уравнение вида $a+b \cos (x)+c \sin (x)+d \sin ^2(x)$ и уравнение 4-й степени. Можно ли все же его избежать, проведя другие преобразования.
Заранее спасибо за советы.

[gris]

в общем виде не избежать.
А в частных случаях возможны упрощения. Вы бы лучше показали откуда уравнение взялось и зачем и что и по чему дифференцировать. Не для Величайшей из теорем?

[tmmok]

Нет, все гораздо проще (или сложнее), кинематическое исследование механизма.
Имееются уравнения
$ \left\{ \begin{array}{l} s_2 = s - l \cos (\gamma ),\\ y_1 = h+r \cos (x),\\ y_2 = y_1 + l \sin (x) \sin (\gamma),\\ z_1 = r \cos (x),\\ z_2 = z_1 -l \cos (x) \sin (\gamma), \\ l = \sqrt{s^2+y_1^2+z_1^2-R^2} , \\ s s_2+y_1 y_2 + z_1 z_2 = R^2 . \\ \end{array} \right. $
Откуда надо выразить $x$ через $\gamma , r , R, h $ и $s$, дифференцируем по $s$, для нахождения скорости.
Буду благодарен за любые мысли и советы

[AKM]

tmmok в сообщении #261504 писал(а):

$cos(x)=\sqrt {1-\sin^2(x)} $.

Не могя пока глубже повникать в Ваши (новые) рассказки про механизмы, замечу, что процитированное равенство недообосновано. Столь же часто бывает $\cos x={\Large{\color{red}-}\sqrt {1-\sin^2x}$. Переход к тангенсу х/2 учитывает обе возможности.

Сам я уравнений 4-й степени не боюсь. Возникло --- решаю, и даже не воздаю кому-то там $\left(\uparrow\right)$ благодарности, что оно не пятой.

[AKM]

tmmok в сообщении #262075 писал(а):

...Откуда надо выразить $x$ через $\gamma , r , R, h $ и $s$, дифференцируем по $s$, для нахождения скорости.

По сути, Вы получили для Вашей функции $x(s)$ неявное выражение

$$F(x,s;\gamma , r , R, h)=0,\qquad\eqno(1)$$

представленное нам в Вашем первом посте как

$$a(s;\gamma , r , R, h) + b(s;\gamma , r , R, h)\cos(x) + c(s;\gamma , r , R, h)\sin(x) + d(s;\gamma , r , R, h)\sin^2(x)=0.$$

Чтобы найти производную $x'_s(s)$, дифференцируем $F(x,s;\gamma , r , R, h)=0$ по $s$, предполагая х функцией $s$. Получаем:

$$\underbrace{G(x,{\color{blue}x'_s},s;\gamma , r , R, h)}_{\displaystyle\equiv \frac{\partial F}{\partial x}x'_s+\frac{\partial F}{\partial s}}=0.\qquad\eqno(2)$$

Теперь можно формально (и реально) исключить х из (1) и (2), так как это полиномы относительно $u=\tg\frac x2$ (я забыл, как это называется по-русски, а по-аглицки и во всяких мат-пакетах это resultant). Трудно расчитывать, что новое уравнение

$$H(x'_s,s;\gamma , r , R, h)=0\qquad\eqno(3)$$

будет явно разрешимо относительно $x'_s$, но дойти до этого этапа аналитически может быть полезно для численного анализа задачи. Но можно ограничиться этапом (2), и вычислить $x'_s(x_0,s_0;\ldots)$ из начальных условий, далее с каким-то шагом по $s$ численно интегрировать.