Матрицы Паули

[whiterussian]

К стыду своему застряла на задачке:
Показать что для произвольных $\alpha_1, \; \alpha_2$ произведение экспонент $\exp (i\sigma_1\alpha_1)\exp (i\sigma_2\alpha_2$) может быть представлено в виде экспоненты $\exp (i(\sigma_1\beta_1+\sigma_2\beta_2+\sigma_3\beta_3))$


Нужно на уровне 2-3 куpса....

[nestoklon]

В ряд экспоненты разложите.
Кстати, это даже в википедии есть. В английской, конечно.

[whiterussian]

Дык... там и затык...
нужно выразить коэффициенты в явном виде... а у меня все как-то в неявном....

[nestoklon]

whiterussian в сообщении #261462 писал(а):

Дык... там и затык...

Ну что, копировать из википедии или сами найдёте?

Хм... Посчитал. А вы уверены, что это правда? А то что-то не очень-то оно представимо...

[whiterussian]

Если вы нашли то, о чем я спрашиваю - please,

Если просто определение - не надо...

-- Чт ноя 12, 2009 15:28:15 --

nestoklon в сообщении #261463 писал(а):

Хм... Посчитал. А вы уверены, что это правда? А то что-то не очень-то оно представимо...

Ну так группа-то одна.... SU(2)

[nestoklon]

Сам понимаю что одна.

$$\exp (i\sigma_1\alpha_1)\exp (i\sigma_2\alpha_2) = (\cos\alpha_1+i\sigma_1\sin\alpha_1)(\cos\alpha_2+i\sigma_2\sin\alpha_2)= \cos\alpha_1\cos\alpha_2+i\sigma_1\sin\alpha_1\cos\alpha_2+i\sigma_2\sin\alpha_2\cos\alpha_1-i\sigma_3\sin\alpha_1\sin\alpha_2$$

...
Осталось привести к виду $\exp (i(\sigma_1\beta_1+\sigma_2\beta_2+\sigma_3\beta_3)) $.

[whiterussian]

В последнем члене $i$ потеряли...
а в предпоследнем $\cos\alpha_1$

Это-то и я за полминуты написала...
Вот над "осталось привести" и бьюсь...

[nestoklon]

Нашёл. Я ж физик. Идею помню, а тонкости... =)

-- Пт ноя 13, 2009 00:39:49 --

whiterussian в сообщении #261466 писал(а):

Это-то и я за полминуты написала...

А арксинусы с косинусами чем не устраивают?

[whiterussian]

nestoklon в сообщении #261467 писал(а):

Нашёл. Я ж физик. Идею помню, а тонкости... =)

Так я тоже не химик...

-- Чт ноя 12, 2009 15:41:39 --

nestoklon в сообщении #261467 писал(а):

А арксинусы с косинусами чем не устраивают?

Да уж очень все громоздко.... Хотелось красоты....

[nestoklon]

Дык вы вопрос неправильно сформулировали. Вы про показать спросили. А про красоту не спрашивали. Тогда надо думать.

[Yu_K]

whiterussian в сообщении #261460 писал(а):

К стыду своему застряла на задачке:
Показать что для произвольных $\alpha_1, \; \alpha_2$ произведение экспонент $\exp (i\sigma_1\alpha_1)\exp (i\sigma_2\alpha_2$) может быть представлено в виде экспоненты $\exp (i(\sigma_1\beta_1+\sigma_2\beta_2+\sigma_3\beta_3))$

$\exp (i\sigma_1\alpha_1)\exp (i\sigma_2\alpha_2$)=\exp (i\sigma_1\alpha_1+i\sigma_2\alpha_2)$
и остается подобрать параметры в уравнении
$\sigma_1\beta_1+\sigma_2\beta_2+\sigma_3\beta_3=\sigma_1\alpha_1+\sigma_2\alpha_2$

[whiterussian]

Yu_K,
Вы неправы....

[mihiv]

Запишем $ e^{i(\alpha_1\sigma_1+ \alpha_2\sigma_2)}= e^{iA}$,где $A=\beta_1\sigma_1+\beta_2\sigma+\beta\sigma_3$.Раскладываем $e^{iA}$ в ряд и получаем $e^{iA}=\cos \gamma+iA \frac {\sin \gamma}\gamma$,где $\gamma ^2=\beta_1^2+\beta_2^2+\beta_3^2$.Приравнивая коэффициенты при матрицах Паули в правой и левой частях равенства (1) получим систему уравнений для определения коэффициентов $ \beta _i:\beta _1 \frac {\sin \gamma}{\gamma}=\sin \alpha_1 \cos \alpha _2$
$\beta_2 \frac {\sin \gamma}{\gamma}= \sin \alpha_2 \cos \alpha1,$
$\beta_3 \frac {\sin \gamma}{\gamma}=- \sin \alpha_1 \sin \alpha_2,$
$\cos \gamma = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2. $
Последнее уравнение на самом деле является следствием первых трех.

[whiterussian]

mihiv
Спасибо, именно такие я и получила, но это неявное задание функций... Почему-то мне казалось, что можно сделать проще....

[nestoklon]

whiterussian
А вы не пробовали покопать в сторону геометрии на сфере? Ведь ваши экспоненты -- это повороты (вокруг $x$ и $y$). Тяжело с нахождением только $\gamma$ (в обозначениях mihiv), остальные уравнения "хорошие". А эта $\gamma$ ничто иное как общий угол поворота (или с точностью до двойки?..). Если нарисовать эти повороты на сфере, получится "прямоугольный треугольник". Казалось бы, математики должны были задаваться вопросом, чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника на сфере. Наверняка и формула какая есть "попроще". Останется только понять как быть с тем, что SU(2) немного больше SO(3), но это уже тонкости .
А если простой формулы нет, то скорее всего её совсем нет..