Соотношение для скаляр. ф-ции вектор. арг-та

[amiable]

Для $f \in C^{(1)}(R^2)$ требуется доказать, что
$f(x_1, x_2) = f(0, 0)+\int_0^1(f'_1(tx_1, tx_2)x_1+f'_2(tx_1, tx_2)x_2)dt$.
Верно ли я полагаю, что $f'_1(tx_1, tx_2)d(tx_1)+f'_2(tx_1, tx_2)d(tx_2)=f'(tx_1, tx_2)d(t\vec{x})$, поэтому
$\int_0^1(f'_1(tx_1, tx_2)x_1+f'_2(tx_1, tx_2)x_2)dt=f(x_1, x_2)-f(0, 0)$?
Если да, то разъясните, пожалуйста, почему первообразная для $f'_1(tx_1, tx_2)d(tx_1)+f'_2(tx_1, tx_2)d(tx_2)$ - f, несмотря на то, что оба аргумента зависят от t, так как последнее меня запутывает.
Спасибо.

[RIP]

Надо просто рассмотреть функцию одного аргумента $t$
$g(t)=f(tx_1,tx_2)$
($x_1$, $x_2$ считаем константами). Тогда нужная формула перепишется в виде
$g(1)=g(0)+\int_0^1g'(t)\,dt.$